P6091 【模板】原根 - 数论

题解

定义 \(\delta_m(a)\)（\(a\) 模 \(m\) 的阶）为满足 \(a^n\equiv 1\pmod m\) 的最小的正整数 \(n\)。

原根 \(g\) 就是满足 \(\delta_m(g)=\varphi(m)\) 的正整数。

一个数 \(a\) 是原根的充要条件是对于 \(\varphi(m)\) 的任意素因子 \(p\)，都有 \(a^{\varphi(m)/p}\not\equiv1 \pmod m\)，且 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod m\)。

一个关于原根的性质是，假如我们知道了模 \(m\) 意义下的最小原根 \(g\)，那么其它所有原根都形如 \(g^{\alpha}\)，其中 \(\alpha\perp \varphi(m)\)。由此也可以得出一个数 \(m\) 如果有原根，那么其原根个数为 \(\varphi(\varphi(m))\)。

另一方面我们也有原根存在定理：如果正整数 \(m\) 等于 \(2,4,p^{\alpha},2p^{\alpha}\)（\(p\) 是奇质数），那么 \(m\) 有原根。

又有一个定理：如果一个数 \(m\) 有原根，那么其最小原根的大小不会超过 \(m^{0.25}\)。

于是我们可以在 \(O(m^{0.25}\omega(m)\log m)\) 的时间复杂度内找到 \(m\) 的最小原根，并在 \(O(\varphi(m) \log m)\) 的时间复杂度内找到所有原根。

\(\omega(m)\) 是 \(m\) 的不同质因子个数。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define For(Ti,Ta,Tb) for(int Ti=(Ta);Ti<=(Tb);++Ti)
#define Dec(Ti,Ta,Tb) for(int Ti=(Ta);Ti>=(Tb);--Ti)
template<typename T> void Read(T &x){
	x=0;int _f=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) _f=(ch=='-'?-1:_f),ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
	x=x*_f;
}
template<typename T,typename... Args> void Read(T &x,Args& ...others){
	Read(x);Read(others...);
}
typedef long long ll;
const int N=1e6+5;
int T;
int vis[N],prime[N],prCnt=0,phi[N],rt[N];
void Sieve(int mx){
	phi[1]=vis[1]=1;
	For(i,2,mx){
		if(!vis[i]) prime[++prCnt]=i,phi[i]=i-1,rt[i]=1;
		for(int j=1;j<=prCnt&&1LL*i*prime[j]<=mx;++j){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
	rt[2]=rt[4]=1;
	for(int j=2;j<=prCnt;++j){
		for(ll cur=prime[j];cur<=mx;cur*=prime[j]){
			rt[cur]=1;
			if(2*cur<=mx) rt[2*cur]=1;
		}
	}
}
ll Pow(ll a,ll b,ll p){
	ll res=1;
	while(b){
		if(b&1) res=res*a%p;
		b>>=1,a=a*a%p;
	}return res;
}
bool Check(ll g,ll n,vector<int> &pfac){
	for(int p:pfac){
		if(Pow(g,phi[n]/p,n)==1) return 0;
	}return Pow(g,phi[n],n)==1;
}
int main(){
	Sieve(N-5);
	Read(T);
	int n,d;
	while(T--){
		Read(n,d);
		if(!rt[n]){puts("0\n");continue;}
		vector<int> pfac;
		for(int j=1,n_=phi[n];prime[j]<=n_;++j){
			if(n_%prime[j]==0){
				pfac.push_back(prime[j]);
				while(n_%prime[j]==0) n_/=prime[j];
			}
		}
		int g;
		for(g=1;g<=n;++g){
			if(Check(g,n,pfac)) break;
		}
		vector<int> ans;
		For(k,1,n) if(__gcd(k,phi[n])==1) ans.push_back(Pow(g,k,n));
		sort(ans.begin(),ans.end());
		auto it=unique(ans.begin(),ans.end());
		ans.erase(it,ans.end());
		printf("%d\n",static_cast<int>(ans.size()));
		for(auto it=ans.begin();it!=ans.end();++it){
			if((distance(ans.begin(),it)+1)%d==0)
				printf("%d ",*it);
		}
//		for(auto x:ans) printf("%d ",x);
		puts("");
	}
	return 0;
}