2021 第二轮省队集训 Day8

A

根号分治。

对于 \(k\le \sqrt{n}\) 的情况，预处理 \(f_{i,j}\) 表示长为 \(i\) 的棋盘，黑点之间相差 \(\ge k\) 的方案数，那么 \(f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-j,j}\)。

对于 \(k>\sqrt{n}\) 的情况，考虑组合数：\(\dbinom{n-1-kx+k+x}{x}\) 即为在长为 \(n\) 的棋盘上选 \(x\) 个地方染成黑点，且黑点之间距离 \(\ge k\) 的方案数。

考虑有“在位置 \(p\) 上强制染成白色”这个限制怎么做：可以让 \(p\) 染成黑色，那么 \([\max\{1,p-k\},p-1],[p+1,\min\{n,p+k\}]\) 这两个区间内都不能染黑。对于可以染色的前缀和后缀算一下即可。

时间复杂度 \(O(m\sqrt{n})\)。