题解 [ARC129E] Yet Another Minimization

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显然是最小割建模。

首先，为了表示“若 \(X_i=A_{i,j}\) 则有代价 \(C_{i,j}\)”，给每个 \(i\) 建 \((m+1)\) 个点，记作 \(p_{i,1},p_{i,2},\dots,p_{i,m+1}\)。连边 \((S,p_{i,1},\infty),(p_{i,m+1},T,\infty)\)。对于每个 \(1\le j\le m\)，连边 \((p_{i,j},p_{i,j+1},C_{i,j}),(p_{i,j+1},p_{i,j},\infty)\)。

绝对值不太好处理，考虑把 \(|x-y|\) 看作：对于每个整数 \(k\)，若 \(\min(x,y)<k\) 且 \(\max(x,y)\ge k\)，则有 \(1\) 的代价。那么后面的步骤应该是，枚举 \(1\le i,j\le n\land i\neq j\)，然后用 \(m^2\) 条连边来描述若 \(X_i>X_j\) 则绝对值的代价是多少。

考虑最小割究竟在干什么：

给定源 \(S\)，汇 \(T\)，以及边集 \(E\)，给每个点赋一个点权 \(x_u\in \{0,1\}\)，最小化

\[\sum_{(u,v,w)\in E} w\cdot x_u(1-x_v). \]

其中，一定需要有 \(x_S=1,x_T=0\)。

于是上面的建模中，\(p_{i,j}=1\) 则说明 \(X_i\ge A_{i,j}\)。

那么考虑 \(p_{i,x}\) 连向 \(p_{j,y}\) 的边，假如这条边有贡献，则说明 \(x_{p_{i,x}}=1,x_{p_{j,y}}=0\)，也就是 \(X_i\ge A_{i,x},X_j<A_{j,y}\)。所以这条边的边权应该是 \(|(A_{i,x-1},A_{i,x}]\cap (A_{j,y-1},A_{j,y}]|\)。

这个建模中有 \(O(NM)\) 个点，\(O(N^2M)\) 条边，所以复杂度上界是 \(O(N^4M^3)\)。不过最慢的点也只跑了 15ms。