题解 [IOI 2024 集训队互测 Day8] 基础寄术练习题

题意

给定正整数 \(k\) 满足 \(1\le k\le 2\)，对于一个数列 \(a\)，定义

\[f(a)=\prod_{i=k}^n \left(\sum_{j=1}^i a_j\right)^{-1}. \]

对于所有长为 \(n\)，元素在 \([1,m]\) 间，且所有元素互不相同的整数数列 \(a\)，计算 \(f(a)\) 之和，对给定的质数取模。

\(n\le m\le 100\)。

题解

好厉害的组合意义。

\(k=1\)

这个 \(f\) 的式子从任何角度都不好做，所以考虑用组合意义转化。

假如已经确定了 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 的取值，那么 \(f(a)\) 就是如下问题的答案，再除以 \(\prod_{i=1}^n a_i\)：

有 \(\sum_{i=1}^n a_i\) 个无标号的小球，其中颜色为 \(i\) 的有 \(a_i\) 个。从所有这些小球的排列方式中等概率选一种，设 \(r_i\) 是颜色为 \(i\) 的小球的最大出现位置，问 \(r_1<r_2<\dots<r_n\) 的概率。

另一方面，假如只确定了 \(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\) 这个集合，而没有确定排列方式，那么考虑每一种排列小球的方式，一定都有恰好一种 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 使得这种排列小球的方式满足 \(r_1<r_2<\dots<r_n\)。

所以 \(k=1\) 的答案就是

\[\sum_{S\subseteq [m]\land |S|=n} \prod_{x\in S} \frac{1}{x}. \]

\(k=2\)

现在 \(f(a)\) 等于上面那个问题的答案除以 \(\prod_{i=2}^n a_i\)。

假如已经确定了 \(a_1\) 以及 \(\{a_2,a_3,\dots,a_n\}\) 这个集合。那么相当于在上面那个问题中，需要 \(r_1<\min(r_2,r_3,\dots,r_n)\)，而对 \(r\) 的单调性没有限制。

这基本上就是 PKUWC 2018 猎人杀。容斥，枚举一个集合 \(T\subseteq S\)，钦定 \(\forall x\in T,r_x<r_1\)。通过一些不太难的推导，可以得到：

\[\sum_{T\subseteq S} (-1)^{|T|} \frac{a_1}{a_1+\sum_{x\in T} x}. \]

直接 DP：设 \(f_{i,j,k,l}\) 表示考虑 \(1\sim i\) 这些值，选了 \(j\) 个放进 \(S\)，放进 \(T\) 的（可能再加上 \(a_1\)）之和是 \(k\)，是否已经选了 \(a_1\)，的容斥系数之和。

\(O(n^4)\)。