KMP自动机

KMP自动机

分类：字符串

内容：详细版

前置知识

不会的可以点击链接（如果有）或者前往 OI-Wiki 学习

• KMP

一些约定

• 字符集大小默认为m
• 模板字符串默认为s
• 文本字符串默认为t
• |s|指字符串s的长度
• 字符串下标默认从1开始

简介

KMP自动机主要用于字符串的匹配问题，预处理复杂度为O(|s|*m)，可以以严格O(|t|)的复杂度进行字符串匹配（KMP为均摊O(|t|)），并且可以处理可持久化字符串匹配问题。

同时KMP自动机也是AC自动机（可以处理多个模板串的匹配）的基础。

构造KMP自动机

KMP自动机与KMP的区别在于KMP自动机额外求出了 \(trans_{i,j}\) 表示在第i位置上往后匹配一个j字符会转移到什么状态（状态在这里指已经成功匹配了多少个字符）。

在下文中，将用fail来代替KMP的next，nxt代替上面的trans。

普通地实现KMP自动机

假设我们处理到了第i个状态并且前i-1个状态已经完全处理好了，当前的fail也指向了正确的位置。

考虑每个nxt指向的状态：

nxt[s[i + 1]]显然指向i+1。

其余的nxt应当指向一直跳fail后第一个下一个字符能匹配的位置，即：

nxt[i][j] = i;
while(nxt[i][j] && s[nxt[i][j] + 1] != j) nxt[i][j] = fail[nxt[i][j]];
if(s[nxt[i][j] + 1] == j) nxt[i][j] = nxt[i][j] + 1;

但是这样我们没有用到之前求出来的nxt并且复杂度很高，所以我们需要找到一种能用到之前求好了的nxt来快速计算当前nxt的方法。

考虑nxt[fail[i]][j]，这个表示的是fail[i]这个状态匹配一个j字符会转移到什么状态，即我们想在第i个状态后接一个j字符，但是s[i + 1]不是这个字符，我们就在fail[i]这个状态后面接着找并且找到了一个状态可以转移。

仔细分析一下这个东西就是我们要求的nxt[i][j]。

证明一下：由于nxt[fail[i]][j]要么是从nxt[fail[fail[i]]][j]转移过来的，已经考虑过考虑跳多次fail，要么是直接在fail[i]后面接一个j字符，不需要跳多次fail，所以不用管跳多次fail，那么nxt[fail[i]][j]就是我们要求的nxt[i][j]了。

// 假设字符串长度为 n，字符集大小为 m
// nxt 一开始都是 0
fail[1] = 0;
nxt[0][s[1]] = 1;
for(int i = 1; i < n; i ++) {
    for(int j = 0; j <= m; j ++) {
        if(s[i + 1] == j) nxt[i][j] = i + 1;
    	else nxt[i][j] = nxt[fail[i]][j];
    }
}
for(int i = 0; i <= m; i ++)
   	nxt[n][i] = nxt[fail[n]][i];

这样写出来又长细节又多，一下没搞好就错了，最重要的是不好背，我们想办法缩成单独一个for循环。

好写又好背的板子

首先我们处理第i个状态时，我们可以先让所有的nxt[i]都是nxt[fail[i]]，然后在第i+1个状态再把nxt[i][s[i+1]]设为i+1，这样我们就可以不用把第n个状态单独拿出来

然后我们可以发现在求nxt[i]的时候不需要用到之前的fail所以我们可以不记录所有的fail值

for(int i = 1, fail = 0; i <= n; i ++) {
	fail = nxt[fail][s[i]]; // 注意这一行不能和下一行互换
	nxt[i - 1][s[i]] = i;
	for(int j = 0; j < m; j ++)
		nxt[i][j] = nxt[fail][j];
}

字符串匹配

构造完以后匹配就很简单了，直接一直沿着nxt走就行了