Tree[POJ1741]

【题目描述】
给你一棵数,以及这棵树上边的距离.问有多少对点它们两者间的距离小于等于\(K\)

【输入格式】
第一行 一个整数 \(n\) 表示树上有多少个点
接下来\(n-1\)行 每行三个整数 表示一条无向边的两端和权值
最后一行一个整数\(k\)

【输出格式】
一个整数 表示有多少对点之间的距离小于等于\(K\)

题解

点分治模板题

什么情况下可以用点分治？
当询问形如这种形式：树上所有路径中最...的/所有路径有多少条满足...
就可以使用点分治将暴力枚举两点的那个\(O(n^2)\)优化到\(O(n\log n)\)

假如此题只需要你求经过点\(1\)的距离小于等于\(K\)的路径有多少条
我们可以这么做：把所有点(包括\(1\))到\(1\)的距离全部存进一个数组\(q\)里，然后计算\(q\)中有多少对数字两两加起来小于等于\(k\) 这个是可以通过双指针\(O(n)\)解决的
这么做显然是正确的
当然是有问题的了！看下面这个例子：

\(q\)数组里有\(0,2,5\)，那么\(0+2,0+5,2+5\)都小于等于\(k\)，求得的答案有三个，但是实际上合法的经过\(1\)的路径只有\(1\)到\(2\)，\(1\)到\(3\)两条
我们注意到\(2+5\)是不合法的 你不能这么走2->1->3 所以只有(不在\(1\)的同一个儿子的子树中)的两个点才能相加配对
怎么办？也很简单 按上面的方法处理完后 再分别处理\(1\)的每一个儿子 把儿子的子树里的所有点进行配对 这些配对都是不合法的 将答案减去这些配对的贡献即可 这个显然也是\(O(n)\)的 就可以求出正确的答案了 至此我们已经把此题的答案统计方法讲完了 下面讲淀粉质

点分治的思想是这样的：

看这个分叉的菊花图 显然它的重心是\(1\)
我们先用上面的方法 计算出经过点\(1\)的路径的贡献
然后递归进\(1\)的每个儿子的子树 对于每个子树找到它的重心\(x\) 然后如法炮制计算该子树内经过\(x\)的路径的贡献 注意是该子树内 也就是说 点\(1\)已经和我们无关了
然后再继续往下递归
这里有一个示意图

先统计\(1\)的贡献 这是第一层 然后找到子树\(\{2,3,4\}\)的重心 这里也就是\(2\) 然后递归进入\(2\)继续统计 这就是第二层
由于树的重心的性质：它每个儿子的子树大小都不会超过\(\frac{n}{2}\) 所以这里最多有\(\log n\)层 再加上上面统计答案的方法是\(O(n)\)的 此题复杂度\(O(n\log n)\)

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	for (; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
	for (; ch <= '9' && ch >= '0'; ch = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ '0');
	return x * f;
}

const int inf = 0x7fffffff;
int n, k, rt, nowsz, mx;
int head[40005], pre[80005], to[80005], val[80005], sz; 
int tot[40005], dis[40005];
ll ans;
bool vis[40005];

void init() {
	memset(head, 0, sizeof(head));
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	sz = 0; ans = 0;
}

inline void addedge(int u, int v, int w) {
	pre[++sz] = head[u]; head[u] = sz; to[sz] = v; val[sz] = w; 
	pre[++sz] = head[v]; head[v] = sz; to[sz] = u; val[sz] = w; 
}

void getrt(int x, int fa) { //找到当前子树的重心
	tot[x] = 1;
	int nowmx = -inf;
	for (int i = head[x]; i; i = pre[i]) {
		int y = to[i];
		if (y == fa || vis[y]) continue;
		getrt(y, x);
		tot[x] += tot[y];
		nowmx = max(nowmx, tot[y]);
	}
	nowmx = max(nowmx, nowsz - tot[x]);
	if (nowmx < mx) {
		mx = nowmx, rt = x;
	}
}

int l, r, q[40005];

void getdis(int x, int fa) { //统计答案部分：找到当前子树中每个点到重心的距离
	q[++r] = dis[x];
	for (int i = head[x]; i; i = pre[i]) {
		int y = to[i];
		if (y == fa || vis[y]) continue;
		dis[y] = dis[x] + val[i];
		getdis(y, x);
	}
}

ll calc(int x, int d) { //统计答案的函数
	l = 1, r = 0;
	dis[x] = d;
	getdis(x, 0); //计算当前子树中每个点到重心的距离
	sort(q + 1, q + r + 1); //双指针算出多少对数字满足q[i]+q[j]<=k
	ll ret = 0;
	while (l < r) { 
		if (q[l] + q[r] <= k) {
			ret += r - l, l++;
		} else r--;
	}
	return ret;
}

void divide(int x) { //点分治函数
	ans += calc(x, 0); //这是在统计x的答案
	vis[x] = 1;
	for (int i = head[x]; i; i = pre[i]) {
		int y = to[i];
		if (vis[y]) continue;
		ans -= calc(y, val[i]); //这是在减去x的答案中不合法的部分
		mx = inf;
		nowsz = tot[y];
		getrt(y, 0); //这是在找y的子树的重心
		divide(rt); //递归进入y
	} 
}

int main() {
	n = read();
	init();
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		int u = read(), v = read(), w = read();
		addedge(u, v, w);
	}
	k = read();
	mx = inf;
	nowsz = n;
	getrt(1, 0);
	divide(rt);
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}