方伯伯的玉米田[SCOI2014]

题目描述

方伯伯在自己的农田边散步，他突然发现田里的一排玉米非常的不美。这排玉米一共有 \(N\) 株，它们的高度参差不齐。
方伯伯认为单调不下降序列很美，所以他决定先把一些玉米拔高，再把破坏美感的玉米拔除掉，使得剩下的玉米的高度构成一个单调不下降序列。方伯伯可以选择一个区间，把这个区间的玉米全部拔高 \(1\) 单位高度，他可以进行最多 \(K\) 次这样的操作。拔玉米则可以随意选择一个集合的玉米拔掉。
问能最多剩多少株玉米，来构成一排美丽的玉米。

输入格式

第一行包含两个整数 \(N\)，\(K\)，分别表示这排玉米的数目以及最多可进行多少次操作。
第二行包含 \(N\) 个整数，第 \(i\) 个数表示这排玉米，从左到右第 \(i\) 株玉米的高度 \(a_i\)。

输出格式

输出一个整数，最多剩下的玉米数。

题解

有一个显而易见的贪心：即每次都是拔高以 \(n\) 结尾的一段区间是最优的

如果拔高了区间 \([i,j]\)，其中 \(j<n\)，那么换成拔高 \([i,n]\) 一定不会让答案变得更劣

所以现在的问题就变成每次选择一段后缀上的玉米进行拔高

设 \(dp[i][j]\) 表示第 \(i\) 株玉米总计被拔高了 \(j\) 次时，以第 \(i\) 株玉米结尾的最长不降子序列的长度(这个子状态有亿点点难想到)

转移方程：\(dp[i][j]=\max(dp[k][l])+1\)，其中 \(k<i,\ l\le j,\ a_k+l\le a_i+j\)

那这个max怎么快速求得呢？似乎要用树套树 不过这题由于空间够用，所以树状数组套树状数组就行了

答案就是整个dp数组中的最大值

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define N 10005
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;

template <typename T> 
inline void read(T &num) {
	T x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	for (; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
	for (; ch <= '9' && ch >= '0'; ch = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ '0');
	num = x * f;
}

int n, k, a[N], dp[N][505];
int tr[N][505], ans;

void Update(int x, int y, int v) {
	y++;
	for (int i = x; i <= 10000; i += lowbit(i)) {
		for (int j = y; j <= 501; j += lowbit(j)) {
			tr[i][j] = max(tr[i][j], v);
		}
	}
}

int Query(int x, int y) {
	y++; int ret = 0;
	for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) {
		for (int j = y; j; j -= lowbit(j)) {
			ret = max(ret, tr[i][j]);
		}
	}	
	return ret;
}

int main() {
	read(n); read(k);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		read(a[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = k; j >= 0; j--) {
			dp[i][j] = Query(a[i] + j, j) + 1;
			Update(a[i] + j, j, dp[i][j]);
			ans = max(ans, dp[i][j]);
		}
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}