李雅普诺夫稳定性

在控制系统中，稳定的闭环系统的重要性不言而喻。如果系统受到外界干扰作用，系统运动趋向于发散，这将会是个灾难！在经典控制理论中，系统的稳定性判据包括劳斯判据、根轨迹法以及奈奎斯特判据。在现代控制理论以及非线性控制中，李雅普诺夫稳定性判据起着非常重要的作用。

李雅普诺夫定义了三种稳定性，分别是李雅普诺夫稳定性（marginally stable）、渐进稳定（asymptotically stable）和大范围渐进稳定（global asymptotically stable）。简单来说，李雅普诺夫稳定性表明，如果系统初始状态在平衡点的邻域内，那么系统最终将收敛到离平衡点任意小的邻域内（例如一二阶系统，如果它的两个极点位于虚轴，则该系统会进行周期性地正弦运动，运动的幅值取决于初始状态）；渐进稳定表明，如果系统初始状态在平衡点的邻域内，那么系统最终将收敛到平衡点（对于线性系统而言，如果极点都具有负实部，则系统会收敛至平衡点）；大范围渐进稳定表明，不论系统初始状态离平衡点有多远，那么系统最终将收敛到平衡点（大范围渐进稳定意味着系统只有一个平衡点，线性系统的渐进稳定等价于大范围渐进稳定，因为线性系统只有一个平衡点）。