F. Closest Pair

F. Closest Pair

题目大意

• 给定 \(n(2 \le n \le 3\times 10^5)\) 个二元组 \((x_i,w_i)\)，其中 \(|x_i|\le 10^9\)，\(1\le w_i \le 10^9\)。
• 输入中二元组按照 \(x_i\) 严格递增排序给出。
• 给出 \(q(1\le q \le 3\times 10^5)\) 次询问，每次询问给出 \(l,r(1\le l<r \le n)\)，你需要输出：

\[\min_{l\le i<j\le r} |x_i-x_j| \cdot (w_i+w_j) \]

分析

这里，用到了两个比较有趣的算法。

我们先来一步步分析。

我们来看这个式子，\(|x_i-x_j|*(w_i+w_j)\)，可以发现如果两个位置i,j之间，有比\(w_i,w_j\)还小的数的话，那么这一对点一定不会成为我们的目标答案。这点是很好推导出来了，因此我们的合法答案一定是，\(max(w_i,w_j)>min_{k=i+1}^{j-1}w_k\)的，即两点之间的权值一定比两者权值大。我们可以发现这就是类似于山峰的形式。因此我们不难想到，可以利用单调栈去计算得出所有合法的答案。

我们维护一个递增的单调栈，当将一个点入栈时，我们可以发现，所有的被弹出的点，都可以与入栈的该点成为合法点对，最后剩余的栈顶也可以与该点构成合法点对。这个算法很妙。这样操作完，我们发现，我们的点对数量也就是\(O(n)\)的。

然后，我们的问题就变为了，在所有的合法点对中，找到最小的了。这个问题就类似于之前做过的一道题目，CF522D Closest Equals，这题是要求所有相同的点构成的点对中距离最小的点对。

这个问题还是蛮经典的了，我们考虑使用线段树离线去做。

我们将所有的点对按右端点从大到小排序，或者不排序，直接开一个数组去存储，离线怎么做都行啦。这里我们采用第二种方法，我们反向枚举，枚举到一个点时，将该点是左端点的所有合法点对的权值，在右端点修改。然后将以该点为左端点的询问全部进行了。就结束啦。

AC_code

#include<bits/stdc++.h>
#define ios ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0), cout.tie(0)
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 3e5 + 10;
const ll inf = 8e18;

struct Node
{
    int l,r;
    ll mx,mi;
}tr[N<<2];

ll n,q,w[N],len;

void pushup(int u)
{
    tr[u].mi = min(tr[u<<1].mi,tr[u<<1|1].mi);
    tr[u].mx = max(tr[u<<1].mx,tr[u<<1|1].mx);
}

void build(int u,int l,int r)
{
    tr[u] = {l,r,0,inf};
    if(l==r) return ;
    int mid = l + r >> 1;
    build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);
}

void modify(int u,int x,ll v)
{
    if(tr[u].l==tr[u].r)
    {
        tr[u].mi = min(tr[u].mi,v);
        tr[u].mx = max(tr[u].mx,v);
        return ;
    }
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    if(x<=mid) modify(u<<1,x,v);
    else modify(u<<1|1,x,v);
    pushup(u);
}

ll querymin(int u,int l,int r)
{
    if(tr[u].l>r||tr[u].r<l) return inf;
    if(l<=tr[u].l&&tr[u].r<=r) return tr[u].mi;
    return min(querymin(u<<1,l,r),querymin(u<<1|1,l,r));
}

ll querymax(int u,int l,int r)
{
    if(tr[u].l>r||tr[u].r<l) return 0;
    if(l<=tr[u].l&&tr[u].r<=r) return tr[u].mx;
    return max(querymax(u<<1,l,r),querymax(u<<1|1,l,r));
}

struct node
{
    int r;
    ll v;
};

vector<node> Seg[N],Que[N];
ll ans[N],x[N];
int stk[N],tt;

int main()
{
    ios;
    cin>>n>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>x[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(tt&&w[stk[tt]]>=w[i])
        {
            int t = stk[tt];
            Seg[t].push_back({i,(w[i] + w[t])*(x[i] - x[t])});
            tt--;
        }
        if(tt)
        {
            int t = stk[tt];
            Seg[t].push_back({i,(w[i] + w[t])*(x[i] - x[t])});
        }
        stk[++tt] = i;
    }
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        int l,r;cin>>l>>r;
        Que[l].push_back({r,i});
    }
    build(1,1,n);
    modify(1,n,inf);
    for(int i=n-1;i;i--)
    {
        for(auto st:Seg[i])
        {
            int r = st.r;
            ll v = st.v;
            modify(1,r,v);
        }
        for(auto st:Que[i])
        {
            int l = i,r = st.r,id = st.v;
            ans[id] = querymin(1,l,r);
        }
    }
    for(int i=1;i<=q;i++) cout<<ans[i]<<'\n';
    return 0;
}