P2824 [HEOI2016/TJOI2016]排序

P2824 [HEOI2016/TJOI2016]排序

题目大意

这个难题是这样子的：给出一个 \(1\) 到 \(n\) 的排列，现在对这个排列序列进行 \(m\) 次局部排序，排序分为两种：

• 0 l r 表示将区间 \([l,r]\) 的数字升序排序
• 1 l r 表示将区间 \([l,r]\) 的数字降序排序

注意，这里是对下标在区间 \([l,r]\) 内的数排序。
最后询问第 \(q\) 位置上的数字。

分析

离线的写法还是蛮巧妙的。

由于将一个普通的序列排序很慢，是需要nlogn的时间，所以我们试着把它转化为对01序列的排序。

我们先来考虑这个问题，如何在logn的时间完成对01序列的排序。

我们可以利用线段树，用区间求和和区间赋值完成排序动作。我们假设对区间[l,r]，其中1的个数为cnt。

• 对升序排列，则只需要将[l,r-cnt]赋0，将[r-cnt+1,r]区间赋1。
• 对降序排列，则只需要将[l,l+cnt-1]赋1，将[l+cnt,r]区间赋0。

接下来，我们说一说如何利用这来解决我们当前这个问题。

一个二分的办法。我们二分答案。我们将原序列中大于等于mid的值，全部赋值为1，小于的全部赋值为0。然后进行操作，如果最后q位置上是1的话，说明这个点是可以做答案的。

非常巧妙，其实我们就是二分了答案的范围。

• 如果此时的mid>ans，则在排序中，我们的ans一定排到他对应的位置去时就是个0。
• 如果此时的mid<=ans，则在排序中，我们的ans一定排到他对应的位置去时就是个1。

AC_code

#include<bits/stdc++.h>
#define ios ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0), cout.tie(0)
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

struct Node
{
    int l,r;
    int cnt,cov;
}tr[N<<2];

struct Query
{
    int op,l,r;
}OP[N];

int n,m,q;
int p[N];

void pushup(int u)
{
    tr[u].cnt = tr[u<<1].cnt + tr[u<<1|1].cnt;
}

void build(int u,int l,int r,int x)
{
    tr[u] = {l,r,0,-1};
    if(l==r)
    {
        tr[u].cnt = (p[l]>=x?1:0);
        return ;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    build(u<<1,l,mid,x),build(u<<1|1,mid+1,r,x);
    pushup(u);
}

void pushdown(int u)
{
    auto &root = tr[u],&left = tr[u<<1],&right = tr[u<<1|1];
    if(root.cov!=-1)
    {
        left.cov = root.cov;left.cnt = root.cov*(left.r - left.l + 1);
        right.cov = root.cov;right.cnt = root.cov*(right.r - right.l + 1);
        root.cov = -1;
    }
}

void modify(int u,int l,int r,int k)
{
    if(tr[u].l>r||tr[u].r<l) return ;
    if(l<=tr[u].l&&tr[u].r<=r)
    {
        tr[u].cov = k;
        tr[u].cnt = k*(tr[u].r - tr[u].l + 1);
        return ;
    }
    pushdown(u);
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    modify(u<<1,l,r,k),modify(u<<1|1,l,r,k);
    pushup(u);
}

int query(int u,int l,int r)
{
    if(tr[u].r<l||tr[u].l>r) return 0;
    if(l<=tr[u].l&&tr[u].r<=r) return tr[u].cnt;
    pushdown(u);
    return query(u<<1,l,r) + query(u<<1|1,l,r);
}

bool check(int mid)
{
    build(1,1,n,mid);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        auto [op,l,r] = OP[i];
        int cnt = query(1,l,r);
        if(!op)
        {
            modify(1,r-cnt+1,r,1);
            modify(1,l,r-cnt,0);
        }
        else 
        {
            modify(1,l,l+cnt-1,1);
            modify(1,l+cnt,r,0);
        }
    }
    return query(1,q,q);
}

int main()
{
    ios;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i];
    for(int i=1;i<=m;i++) 
    {
        int op,l,r;cin>>op>>l>>r;
        OP[i] = {op,l,r};
    }
    cin>>q;
    int l = 1,r = n;
    while(l<r)
    {
        int mid = l + r + 1>> 1;
        if(check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    cout<<l<<'\n';
    return 0;
}