分层图与拆点

引入

想写这个是因为最近碰到了好多次分层图，但是对概念还是很模糊，简单记录一下自己的一些理解。

我最大的混沌的点是，我最开始的时候将拆点与分层图，一直分的不是太清楚，或者说两者我都不是太清楚。最近稍微理清了一下

接下来，我分别说一下我对拆点和分层图的理解。

拆点

拆点，其实是很简单，很基础的一个知识点。

适用场景

就是说，如果一个点所表示的含义，已经不能满足我们题目所需要求的内容时，我们就多加状态，从而满足我们的需求。

我们从最简单的例子出发

在一个网格中我们限定，如果你进入向右进入某一个格点，那接下来只能向下或向上走。其余随便，求从（1,1）到（n，m）的最短路。

那，显然我们只记录格点坐标已经不够了，我们应当再加一维方向。这样我们就可顺利的求出最短路了。

分层图

适用场景

一些图论题，比如最短路、网络流等，题目对边的权值提供可选的操作，比如可以将一定数量的边权减半，在此基础上求解最优解。或者是，当题目中点的状态除了编号外，还需要其他状态来区分点，我们也会进行分层图。发现了嘛，拆点在这里就用起来了，我们可以说拆点是分层图的实现过程。

算法思路

根据是否进行题目提供的操作以及操作次数的不同，会产生非常多的情况，如果考虑何时使用操作，情况更是多。如果将在图上求解最短路看成是在二维平面上进行的，引入进行操作的次数 k 做为第三维，那么这个三维空间就理应可以包含所有的情况，便可以在这个三维空间上解决问题。

每进行一次操作（k+1），除了操作的边，其他边没有任何变化，在 k=0,1,2,…，时图都是一样的，那么就将图复制成 k+1 份，第 i 层图代表进行了 i 次操作后的图。

每相邻两层图之间的联系，应该决定了一次操作是发生在哪条边上（何时进行操作）。根据操作的特点（对边权的修改）可以 i 层点到 i+1 层点的边来表示一次操作。

例题也非常多，这里举几个例子。

P4568 [JLOI2011] 飞行路线

魔法（本题分层图写并不能拿满分）

星际转移问题

经典使用场景

我们对一个图上从起点到终点的多条最短路进行操作。

2021CCPC桂林K

又比如网络流中Dinic算法的优化，我们就是跑出分层图，接着同时对多条路径进行操作。

区别与联系

最后，我们总结一下，这两个知识点的区别于联系。

联系

我们可以发现，拆点就是分层图的实现逻辑，其实两者是一个思想。都是一个点的状态表示不够了，我们对点进行的拆分。我们可以说分层图是拆点的一种实现。

区别

我们说拆点与分层图的最大不同，可能就是添加的状态的形式。

对于拆点而言，添加的状态一般都是具体的，比如方向，数量等。其转移时，并不是说一定会向下一层转移。比如，进来的方向是左，出必须向右或向下，其并没有具体的下一层。或者是，当前拥有的数量为c，而进入当前格子后会+d个数量，则就不是转移到+1的下一层。因此其状态要不没有具体的下一层，要不就其转移就不是随着层数递增而进行的。

而对于分层图而言，其新添加的状态就是，例如某些具体的对边的操作数，最短路上的相邻点与点之间的分层，随着状态的增加，其所有的转移都是在相邻的层与层之间进行的。其转移就是随着状态层数递增而进行的。