秘密挤奶机

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分析

最大流判断

判断从起点到终点是否有K条互相不相交的路径，每条路径只可以用一次

对于无向边和有向边都一样的

其中无向图建立残留网络时，可以将相同方向的路径容量合并，则就是建立两条u->v容量为c，v->u容量也为c的边

网络流建图

• 将其中所有边的容量都设为1，然后开始建立残留网络
• 接下来跑一个最大流，若最大流>=K则一定有解

对于这样的建图方式，我们有三个问题需要回答一下。

1. 无向图怎么建立网络流。

   其中无向图建立残留网络时，可以将相同方向的路径容量合并，则就是建立两条u->v容量为c，v->u容量也为c的边

   这样建立的原因是，我们可以将无向边看成特殊的有向边，接下来按照有向边的建立方式，建立残留网络。

   然后我们发现，对于两个点之间，其u->v和v->u都有两条容量分别为0,c的边，那我们可以进行合并。

   则就是建立两条u->v容量为c，v->u容量也为c的边

2. 我们限制一条路径只能走一次，那网络中的u->v,v->u都有流量怎么办。

   其实不用太在乎，我们从流量守恒的角度思考。对于u和v而言，若是其间的两条路径都有流量，那我们可以当做这两条路径都没被走。

   这样从其他点走向u的路径一定从u有另外一个不是走向v流量。同理v也是一样。这样我们就可以绕开被走了两遍的边。

3. 可行流与不相交可行流的关系。

   这个对应关系，也比较好想，就不展开说了。

本题要求的是，走的不相交的K条路径的最大路径的最小值

那我们直接二分答案，接着对于答案，我们跑一下看看最大流是不是大于等于K的即可判断是否合法。

AC_code

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 210,M = 80010,INF = 0x3f3f3f3f;

int n,m,K,S,T;
int h[N],ne[M],e[M],w[M],f[M],idx;
int cur[N],d[N],q[N];

void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx] = b,ne[idx] = h[a],w[idx] = c,h[a] = idx++;
    e[idx] = a,ne[idx] = h[b],w[idx] = c,h[b] = idx++;
}

bool bfs()
{
    int hh = 0,tt = -1;
    memset(d,-1,sizeof d);
    d[S] = 0,cur[S] = h[S],q[++tt] = S;
    while(hh<=tt)
    {
        auto t = q[hh++];
        for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if(d[j]==-1&&f[i])
            {
                d[j] = d[t] + 1;
                cur[j] = h[j];
                if(j==T) return 1;
                q[++tt] = j;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int find(int u,int limit)
{
    if(u==T) return limit;
    int flow = 0;
    for(int i=cur[u];~i&&flow<limit;i=ne[i])
    {
        int j = e[i];
        cur[u] = i;
        if(d[j]==d[u]+1&&f[i])
        {
            int t = find(j,min(f[i],limit-flow));
            if(!t) d[j] = -1;
            f[i] -= t,f[i^1] += t,flow += t;
        }
    }
    return flow;
}

int dinic()
{
    int r = 0,flow;
    while(bfs()) if(flow = find(S,INF)) r += flow;
    return r;
}

bool check(int mid)
{
    for(int i=0;i<idx;i++)
        if(w[i]>mid) f[i] = 0;
        else f[i] = 1;
    return dinic()>=K;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
    memset(h, -1, sizeof h);
    S = 1,T = n;
    while (m -- )
    {
        int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a,b,c);
    }
    int l = 1,r = 1e6;
    while(l<r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if(check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    printf("%d\n",l);
    return 0;
}