P6190 [NOI Online #1 入门组] 魔法

原题链接

分析

首先，图论题嘛，肯定先看看范围，一看范围n$\leq$100，那铁铁Floyd啊。

但是，我们遇到一个很大的问题，Floyd无法处理，该条路是否使用了魔法，也无法知道使用了第几次的魔法

那接下来，我们的问题就变成了，如何解决这两个问题。

我们可以关注到一个重点词汇，第几次。

等于说，我们需要考虑到，对一条路来说，对他使用的是第几次魔法，或者根本没有使用魔法。

这就给了，我们一个解决方向，可以用拆点图/分层图的方式。

将一个点，拆成使用第几次魔法的点。

接下来就好办了，对从[0,k]中的每一层。

我们都建立两种边

同层的边：这类边很好说，就是题目中给的边

层与层之间的边：或者我们可以这样说。就枚举每一条路径，加一条从第i-1次魔法的点，到第i次魔法的点的负边权

\[u+n*(j-1)--(-w)-->v+n*j \]

这就将所有的关系，建立完成，接着直接跑个spfa即可。

不过注意，这题中，由于点是可以被反复走回来的，所以，就不要加st了，会影响更新。

90分Ac_code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 110,M = 2510,K = 1010;
int h[N+N*K],e[M+2*K*M],ne[M+2*K*M],w[M+2*K*M],idx;
LL dist[N+N*K];
struct node
{
    int x,y,w;
}edges[M];
int n,m,k;

template < typename T >
inline void read(T &x)
{
    x = 0; bool f = 0; char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)){f ^= !(ch ^ 45);ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) x= (x<<1)+(x<<3)+(ch&15),ch=getchar();
    x = f ? -x : x;
}

void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],w[idx]=c,h[a]=idx++;
}

void spfa(){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    queue<int> q;
    q.push(1);
    while(q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if(dist[j]>dist[t]+w[i])
            {
                dist[j]=dist[t]+w[i];
                q.push(j);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    LL ans = 1e18;
    read(n),read(m),read(k);
    memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b,c;
        read(a),read(b),read(c);
        edges[i]={a,b,c};
        add(a,b,c);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=k;j++)
        {
            int a = edges[i].x,b = edges[i].y,c = edges[i].w;
            add(edges[i].x+n*j,edges[i].y+n*j,edges[i].w);
            add(a+n*(j-1),b+n*j,-c);
        }
    spfa();
    for(int i=n;i<=n+n*k;i+=n)
        if(ans>dist[i])
            ans=dist[i];
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}