P2149 [SDOI2009]Elaxia的路线
知识点
无向图，如何判断一条边是否在最短路径上:从起点和终点都跑一次最短路，接下来枚举每一条边，若是该点是最短路径上的边则符合
S为起点，E代表终点，边是u->v
\[dist[S][u]+w[u->v]+dist[E][v]=dist[S][E]
\]
无向图，在跑最短路算法后，如果将起点终点的最短路径建成一张图后，该图是一个DAG。这提醒我们，当需要用到最短路的每个边的时候，可以利用上边的方法，重新建图后利用DAG 的性质
由于无向图也是一种有向图，因此可以进行延伸操作。想在有向图中判断，那就反向建一个图，接着就与有向图相同了
分析
题目说的很清楚了，我们的目标明确。
就是要求无向图中，两对点间最短路的最长公共路径。
简单的分析过后，我们发现现在的问题是
- 怎么将最短路上的路径找到
- 如何找到公共的路径(方向也相同)
- 找到公共的路径后，如何找到路径上的最大公共路径
现在我们来一点点解决问题
找寻最短路上的路径
如，最上边知识点所说。
所以我们需要将计算四个点做起点的最短路径
这里，没什么说的，如果怕spfa会被卡，可以用堆优化 的dij
接下来，枚举每一条边，我们就可以计算出该条是否是在最短路上的路径
如何找到公共的路径
在找到四个点的最短路后，我们将枚举边，判断是否是x1->y1最短路上的边，如果是，则则将其插入到新图当中。
接下来判断这条边对x2->y2是反向走的还是正向走的
对这一步而言，我们要拆开考虑，因为正向走与反向走不能同时在。
或者再说的清晰一点，如果一条边的正反都在的话，就会出现加两倍的情况，即先是u->v，再发生了v->u
代码如下
//其中ig保存的是该边是否是公共边，addr存的是四个点的下标，ans是递归的最大公共边的数组
int t = idx;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=h[i];~j;j=ne[j])
{
int k = e[j];
if(dist[1][i]+w[j]+dist[2][k]==dist[1][addr[2]])
{
// cout<<i<<" "<<k<<endl;
if(dist[3][i]+w[j]+dist[4][k]==dist[3][addr[4]])
ig[idx]=1;
add(hs,i,k,w[j]);
d[k]++;
}
}
topsort();
int res = 0;
res = max(res,ans[addr[2]]);
memset(d,0,sizeof d);
memset(hs,-1,sizeof hs);
memset(ans,0,sizeof ans);
memset(ig,0,sizeof ig);
idx=t;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=h[i];~j;j=ne[j])
{
int k = e[j];
if(dist[1][i]+w[j]+dist[2][k]==dist[1][addr[2]])
{
// cout<<i<<" "<<k<<endl;
if(dist[4][i]+w[j]+dist[3][k]==dist[3][addr[4]])
ig[idx]=1;
add(hs,i,k,w[j]);
d[k]++;
}
}
topsort();
res=max(res,ans[addr[2]]);
如何求出，公共路径的最大值
接下来，我们已经知道了，在x1->y1的中的最短路所构建的拓扑图中哪些边是公共的，那么，就好办了。
直接在DAG上递推求一下即可
void topsort()
{
queue<int> q;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!d[i])
q.push(i);
while(q.size()){
int t = q.front();
q.pop();
for(int i=hs[t];~i;i=ne[i])
{
int j = e[i];
//cout<<j<<endl;
if(--d[j]==0)
q.push(j);
ans[j]=max(ans[j],ans[t]+w[i]*ig[i]);//这里*一下即直接判断该边是否是公共路径
}
}
}
终于，历经千辛万苦，解决了该题
以下是，全部代码，可以参考
Ac_code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1510,M = N*N*2;
int h[N],hs[N],e[M],ne[M],w[M],ig[M],idx;
int d[N],dist[5][N];
bool st[N];
int n,m;
int addr[5],ans[N];
template < typename T >
inline void read(T &x)
{
x = 0; bool f = 0; char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)){f ^= !(ch ^ 45);ch=getchar();}
while(isdigit(ch)) x= (x<<1)+(x<<3)+(ch&15),ch=getchar();
x = f ? -x : x;
}
void add(int h[],int a,int b,int c)
{
e[idx]=b,ne[idx]=h[a],w[idx]=c,h[a]=idx++;
}
void spfa(int id)
{
memset(dist[id],0x3f,sizeof dist[id]);
memset(st,0,sizeof st);
queue<int> q;
q.push(addr[id]);
dist[id][addr[id]]=0;
st[addr[id]]=1;
q.push(addr[id]);
while(q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();
st[t]=0;
for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
{
int j = e[i];
if(dist[id][j]>dist[id][t]+w[i])
{
dist[id][j]=dist[id][t]+w[i];
if(!st[j])
{
st[j]=1;
q.push(j);
}
}
}
}
}
void topsort()
{
queue<int> q;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!d[i])
q.push(i);
while(q.size()){
int t = q.front();
q.pop();
for(int i=hs[t];~i;i=ne[i])
{
int j = e[i];
//cout<<j<<endl;
if(--d[j]==0)
q.push(j);
ans[j]=max(ans[j],ans[t]+w[i]*ig[i]);
}
}
}
int main()
{
read(n),read(m);
for(int i=1;i<=4;i++) read(addr[i]);
memset(h,-1,sizeof h);
memset(hs,-1,sizeof hs);
while(m--)
{
int a,b,c;
read(a),read(b),read(c);
add(h,a,b,c),add(h,b,a,c);
}
for(int i=1;i<=4;i++) spfa(i);
int t = idx;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=h[i];~j;j=ne[j])
{
int k = e[j];
if(dist[1][i]+w[j]+dist[2][k]==dist[1][addr[2]])
{
// cout<<i<<" "<<k<<endl;
if(dist[3][i]+w[j]+dist[4][k]==dist[3][addr[4]])
ig[idx]=1;
add(hs,i,k,w[j]);
d[k]++;
}
}
topsort();
int res = 0;
res = max(res,ans[addr[2]]);
memset(d,0,sizeof d);
memset(hs,-1,sizeof hs);
memset(ans,0,sizeof ans);
memset(ig,0,sizeof ig);
idx=t;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=h[i];~j;j=ne[j])
{
int k = e[j];
if(dist[1][i]+w[j]+dist[2][k]==dist[1][addr[2]])
{
// cout<<i<<" "<<k<<endl;
if(dist[4][i]+w[j]+dist[3][k]==dist[3][addr[4]])
ig[idx]=1;
add(hs,i,k,w[j]);
d[k]++;
}
}
topsort();
res=max(res,ans[addr[2]]);
printf("%d\n",res);
return 0;
}
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