无向图求最小环

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分析

算是一个板子题，Floyd的有一个扩展应用

我们来简单的说明一下算法原理。

考虑一个图中的最小环 / u-v-k-u /

如果我们随意去掉其中一条边 / u-v /

那么剩下的 / v-k-u / 一定是图中 ( u , v ) 间的最短路径

那么这怎么和Floyd算法联系呢？

我们知道，

\(在Floyd算法枚举k_i的时候，已经得到了前 k-1 个点的最短路径\)

\(这 k-1 个点不包括点 k，并且他们的最短路径中也不包括 k 点\)

那么我们便可以从这前 k-1 个点中选出两个点 i , j 来

因为 / i-j / 已经是 ( i , j ) 间的最短路径，且这个路径不包含 k 点

注解：这里 / i-j / 这样表达只是为了直观，实际中 ( i , j ) 间的最短路很可能不仅仅只有 / i-j / ，还有可能会有其他点，但是这条路径一定是 ( i , j ) 间的最短路

所以连接 / i-j-k-i / ，我们就得到了一个经过 i , j , k 的最小环

最后每次更新 ans 的最小值即可。

板子

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL inf = 1e18;
LL n,m,u,v,w,ans = inf;
LL dis[128][128];
LL g[128][128];
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(i!=j) dis[i][j]=g[i][j]=inf;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>u>>v>>w;
		g[v][u]=g[u][v]=min(g[u][v],w);
        dis[v][u]=dis[u][v]=min(dis[u][v],w);
	}
	for(int k=1;k<=n;k++){
		for(int i=1;i<k;i++)
			for(int j=i+1;j<k;j++)
				ans = min(ans,dis[i][j]+g[i][k]+g[k][j]);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++){
				dis[i][j] = min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
				dis[j][i] = dis[i][j];
			}
		
	}
	if(ans==inf)cout<<"No solution.";
	else cout<<ans;
	return 0;
}