一些零碎知识点(持续更新)

有些知识点很零碎，但找起来会很麻烦，就统一放到这里了。
大家如果有些自己比较零碎知识点，也可以发到下面哦，看到了会加进来。
尽量做好分类。

图论

一堆（大于等于2）拓扑图边变为，强连通图，只需加max(起点个数，终点个数)条边

一个边的双连通分量 <=> 任何两个点之间至少存在两个不相交路径

给定一个无向连通图，问最少加几条边，可以将其变为一个边双连通分量
结论:跑一个tarjan缩完点后的那个树中，度数为1的点个数cnt，ans=(cnt+1)/2;
例题195.冗余路径

给定一个有向图，问最少加几条边，可以将其变为一个强连通图
结论;跑一个tarjan缩点后的图中，所有的连通块的起点的个数为P，所有的连通块的终点的个数为Q，则ans=max(P,Q);
例题 367.学校网络

对一个无向图中的一条边E，如果我们想要得到它的反向边，可以E^1。
如果E=奇数 则反向边=E+1 = E^1
如果E=偶数 则反向边=E-1 = E^1

最大匹配数=点数-最大独立集=点数-最小路径点覆盖

求欧拉回路
同时很重要的单链表删边操作
板子

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10,M = 4e5 + 10;
int n,m,type;
int h[N],e[M],ne[M],idx;
bool used[M];//标记该边是否被用过
int ans[M],cnt;
int din[N],dout[N];//如果是无向边，直接将din,dout相加就是对应的度数
void add(int a,int b)
{
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

void dfs(int u)
{
    for(int i=h[u];~i;i=h[u])//这里的&i，就相当于h[u]了，如果不想这么写，那么h[u]=ne[i],i=ne[i],也行
    {                        //因为这一步的优化其实就是，用头结点顶替我们删去的这条边。
        if(used[i])//如果这条边用过了，那就顶替掉它；
        {
            h[u] = ne[i];
            continue;
        }
        
        used[i]=1;//标记一下被用过了
        if(type==1) used[i^1] = 1;
        
        int t;//记录一下走过的边的编号
        if(type==1)
        {
            t = i/2+1;
            if(i&1) t = -t;//如果是反向边，需要加负号
        }
        else t = i+1;
        
        int j = e[i];
        h[u]=ne[i];//这里要先删，再进行搜索；
        dfs(j);
        
        ans[++cnt] = t;//等搜索结束了，我们再进行赋值
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&type);
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b);
        if(type==1) add(b,a);
        din[b]++,dout[a]++;
    }
    
    if(type==1)//矛盾情况，直接输出NO
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(din[i]+dout[i]&1)
            {
                puts("NO");
                return 0;
            }
    }
    else 
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(din[i]!=dout[i])
            {
                puts("NO");
                return 0;
            }
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(h[i]!=-1)//孤立点可以有，因为我们需要的是边的连通性
        {
            dfs(i);
            break;
        }
        
    if(cnt<m)
    {
        puts("NO");
        return 0;
    }
    
    puts("YES");
    for(int i=cnt;i;i--) printf("%d ",ans[i]);
    puts("");
    return 0;
}

如果，遍历一个节点的子节点，要按照顺序遍历时，最好用邻接表

位运算

if x=奇数 则x-1=x^1;
if x=偶数 则x+1=x^1

如何计算二进制中中1和0的个数
1的个数:x&(x-1);
0的个数:x|(x-1)

DP

用最少的下降子序列把整个序列全部覆盖的个数=最长上升子序列的元素个数

搜索

A*经验积累

IDA*经验积累

当需要搜索的终点是一个固定的结构的话，我们可以检查还有多少并未到应去的位置的数量，以此来估值，一定比实际要动的还要小。
例如，八数码和骑士精神

数学

求前n个数的约数和
时间复杂度\(O(nlogn)\)

for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=2;j<=n/i;j++)//i是进行拓展的数，j是拓展倍数，j不能从1开始，因为i加的数不包括本身。
            sum[i*j]+=i;

零碎

只交换相邻的元素，使得数组排好序，所需的最少次数是逆序对的数量

去重边时，可以用hash表，unordered_set，其中存的是hash值，
例如，a->b,则可以记录为hash=a*100000+b，代表两点之间已有一条边。

对顶堆可以很好的维护中间值。

解决环形问题时，可以将区间向后复制一次，接着对整个区间进行操作，就能起到环形的效果