第四章作业

给定数轴上的 n 个闭区间 [aᵢ, bᵢ]（其中 i = 1, 2, ..., n），目标是找到最小数量的点，使得每个区间至少包含其中一个点。
形式化表述为：
寻找点集 P，满足：
∀ i ∈ {1, 2, ..., n}, ∃ p ∈ P 使得 aᵢ ≤ p ≤ bᵢ
|P| 最小化
这个问题在实际中有广泛的应用场景，如会议时间安排（每个会议至少有一个关键时间点被记录）、传感器部署（每个监测区域至少有一个传感器）、资源分配等。
二、贪心算法设计
2.1 算法直觉
问题的核心矛盾在于：如何用最少的点覆盖最多的区间。直观上，如果一个点能同时落在多个区间的交集中，那么这个点的"性价比"最高。然而，寻找这样的公共交集可能比较复杂。一个更直接的思路是：既然每个区间都必须被覆盖，我们优先考虑那些"最紧迫"的区间——即右端点最小的区间。
2.2 完整算法步骤
算法：最小点覆盖贪心算法
输入：区间集合 S = {[a₁, b₁], [a₂, b₂], ..., [aₙ, bₙ]}
输出：点集 P
排序阶段：
将所有区间按照右端点 bᵢ 从小到大排序
如果右端点相同，则按左端点 aᵢ 从小到大排序（可选，不影响结果但有助于理解）
初始化：
点集 P = ∅
设当前已覆盖到的最右点为 current_point = -∞
迭代选择：
for i = 1 to n:
if aᵢ > current_point: # 当前区间未被覆盖
将 bᵢ 加入点集 P
current_point = bᵢ
或者等价描述：
选择第一个区间的右端点 b₁ 作为第一个点
移除所有包含 b₁ 的区间
在剩余区间中重复上述过程