筛选法求素数

一、概念：

　　素数的概念就不介绍了，素数在做题经常应用，如果用普通的方法求素数的话，时间会超，所以有了很多求素数的快速方法。

二、算法实现

　　1）最初的素数比较暴力，也只是能判断一个数是不是素数或者求n以内的素数个数，用最朴素的算法来写就是下面这样的

num = 0;
for(i=2; i<=n; i++)
{
    for(j=2; j<=sqrt(i); j++)
        if( j%i==0 ) break;
    if( j>sqrt(i) ) 
        prime[num++] = i;
}

　　这种算法时间复杂度是o(n*sqrt(n))，用这种方法，当n很大的时候，比如n=10000000时，n*sqrt(n)>30000000000,数量级相当大。在一般的机子它不是一秒钟跑不出结果，它是好几分钟都跑不出结果。

　　2）素数筛选法

1.开一个大的bool型数组prime[]，大小就是n+1就可以了.先把所有的下标为奇数的标为true,下标为偶数的标为false.
2.然后：

for( i=3; i<=sqrt(n); i+=2 )
{
    if(prime)
        for( j=i+i; j<=n; j+=i ) prime[j]=false;
}

3.最后输出bool数组中的值为true的单元的下标，就是所求的n以内的素数了。

原理很简单，就是当i是质(素)数的时候，i的所有的倍数必然是合数。如果i已经被判断不是质数了，那么再找到i后面的质数来把这个质
数的倍数筛掉。

一个简单的筛素数的过程：n=30。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

第 1 步过后2 4 ... 28 30这15个单元被标成false,其余为true。
第 2 步开始：
　　i=3; 由于prime[3]=true, 把prime[6], [9], [12], [15], [18], [21], [24], [27], [30]标为false.
　　i=4; 由于prime[4]=false,不在继续筛法步骤。
　　i=5; 由于prime[5]=true, 把prime[10],[15],[20],[25],[30]标为false.
　　i=6>sqrt(30)算法结束。
第 3 步把prime[]值为true的下标输出来：

for(i=2; i<=30; i++)
    if(prime) printf("%d ",i);

结果是 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

这就是最简单的素数筛选法，对于前面提到的10000000内的素数，用这个筛选法可以大大的降低时间复杂度。

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define N 101
int main()
{
    bool prime[N]={0};//现将0，1，2标记
    int i,j;
    for(i=2; i<=sqrt(N); i++)
    {
        for(j=i+i; j<N; j+=i)
            prime[j]=1;
    }
    for(i=2; i<100; i++)
        if(prime[i]==0)
            printf("%d ",i);
    return 0;
}

　　很明显，我们可以对上面的代码进行优化，判断每个数是不是素数，如果是素数，素数的倍数标记为非素数，如果不是素数，不做处理，因为非素数的倍数一定会在这个非素数之前被处理了，没必要重复处理。代码如下：

#include<iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
#define N 1000000000
bool isprime[N];
int prime[100000];
int main()
{
    int n,i,j,k=1;
    cin>>n;
    for (i=2; i*i<=n; i++)
    {
        if (isprime[i]==0)
        {
            for (j=i*i; j<=n; j+=i)
                isprime[j]=1;
        }
    }
    for (i=2; i<100; i++)
    {
        if(isprime[i]==0)
        cout<<i<<' ';
    }
    return 0;
}

　　3）线性筛选法

　　a.原理：

      i. 任何一个合数都可以表示成一个质数和一个数的乘积
      ii. 假设A是一个合数，且A = x * y，这里x也是一个合数，那么有:
        A = x * y; (假设y质数，x合数)
        x = a * b; (假设a是质数，且a < x)   =》 A = a * b * y = a * Z (Z = b * y)
　　即一个合数(x)与一个质数(y)的乘积可以表示成一个更大的合数(Z)与一个更小的质数(a)的乘积

b.代码：

void makePrime2()
{
    memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    for(int i=2; i<=MAX; i++)
    {
        if(isPrime[i]) 
            prime[total++]=i;
        for(int j=0; j<total && i*prime[j]<=MAX; j++)
        {
            isPrime[i*prime[j]]=false;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

三、模板

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define N 100000
bool isprime[10*N];
int prime[N];//存的是第n个素数
int pcnt;
void makePrime1()
{
    for (int i=2; i*i<=N; i++)
    {
        if (isprime[i]==0)
        {
            for (int j=i*i; j<=N; j+=i)
                isprime[j]=1;
        }
    }
}
void init()
{
    memset(isprime, true, sizeof(isprime));
    memset(prime, 0, sizeof(prime));
    pcnt = 0;
}
void getPrime()
{
    init();
    prime[0] = prime[1] = 0;
    for(int i = 2; i <= N; i++)
    {
        if(isprime[i])
            prime[++pcnt] = i;
        for(int j = 1; j <= pcnt; j++)
        {
            if(i * prime[j] > N) break;
            isprime[i*prime[j]] = 0;
            if(i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    getPrime();
    for(int i=0;i<10;i++)
    printf("%d ",prime[i]);
}