从零开始的数学建模：（二）Topsis

一、基本Topsis

（1）确定指标类型并正向化

不同与上一讲的层次分析法，这个模型中的数据必须是具体的，而不是人为给出的；

指标有常见的四种类型：

无论是哪种指标，首先都需要进行正向化；

①极小型指标正向化：对所有元素执行\(max-x\)；

②中间型指标正向化：\(x_{best}\)为理想的中间值，计算\(M = max\lbrace|x_i-x_{best}|\rbrace\)，对每个\(x_i\)，计算\(\tilde x=1-\frac{|x_i-x_{best}|}{M}\)，\(\tilde x\)即为正向化后的值；

③区间型指标正向化：假设最佳的区间为\([a,b]\)，计算：

\[M=max\lbrace a-min\lbrace x_i \rbrace,max\lbrace x_i\rbrace -b \rbrace \]

\[\tilde x = \begin{cases} 1-\frac{a-x}{M}&,x<a\\1&,a \leqslant x \leqslant b\\ 1-\frac{x-b}{M}&,x>b \end{cases} \]

\(\tilde x\)即为正向化后的值；

（2）正向化矩阵标准化

（3）计算得分并归一化

注意，根据以上方法确定的最终得分，是默认所有因素的权重相等，显然这不现实，可利用之前的层次分析法确定权重；但是层次分析法的硬伤在于主观性太强，熵权法是更客观的方法；

二、基于熵权法的Topsis模型修正

（1）确定指标类型与标准化

步骤与一般Topsis类型类似，指标的正向化就不再提了；唯一不同的是，如果输进行正向化后存在负数，需要将所有值映射到\([0,1]\)区间：

\[\tilde z_{ij} = \frac {x_{ij}-min\lbrace x_{1j},x_{2j},\cdot\cdot\cdot,x_{nj}\rbrace}{max\lbrace{x_{1j},x_{2j},\cdot\cdot\cdot,x_{nj}}\rbrace-min\lbrace x_{1j},x_{2j},\cdots,x_{nj}\rbrace} \]

（2）计算概率

将\(\tilde z_{ij}\)矩阵中的每个元素除以每一列的和，得到\(p_{ij}\)矩阵；

（3）计算信息熵与信息效用性

对于第\(j\)个指标而言，计算信息熵:

\[e_j = -\frac{1}{\ln{n}}\sum_{i=1}^{n}p_{ij}\ln({p_{ij}})\quad(j=1,2,\cdots,m) \]

计算信息效用值：

\[d_j = 1-e_j \]

最终得到每个指标的熵权：

\[W_j = \frac{d_j}{\sum_{j=1}^{m}d_j}\quad (j=1,2,\cdots,m) \]

但实际上，这个方法仅限于数学建模比赛，真正的科学意义或许并不大，首先这个概率是用频率的计算方式算出来的，如果样本不大的话，根本没有说服力；其次这个方法得到的权重是基于方差大小的（相当不科学），方差越大，说明能提供的信息越多，信息效用值越大，计算出来的权重也就越大，反之亦然；所以这是一个为比赛而服务的模型罢了。

本文算法思想参考源于清风建模，特此注明