从零开始的数学建模：（一）层次分析法

层次分析法

一、概念介绍

简单来说这个模型就像一个没有真实数据的感知机，所有的数据都是人为主观输入的，其中感知机的结点是影响结果的各个指标，感知机最终输出的是评价得分：

对于影响因素，可以通过查阅论文辅助确定；对于影响因素的权重，可以人为地两两比较影响因素的重要性确定（所以如果是已知数据的题目，层次分析法将不再适用），例如两个因素同等重要为1，稍微重要为3，明显重要为5，7、9等等；这个地方可以画一个方阵，将因素填入方阵中，这个方阵就是层次分析法中的判断矩阵；

实际上这个地方的算法流程对于初学者来说是相当绕的，以上面的图为例说明：

①首先要画4个判别矩阵，矩阵形状为\(2*2\)，分别是学习氛围、就业前景、男女比例、校园景色4个因素下，华科与武大的判别矩阵，并计算权重值，由此可以可以确定上图左表矩阵中的第二列与第三列；

②画影响因素的判别矩阵，对于上述例子，是一个\(4*4\)的方阵，两两比较学习氛围、就业前景、男女比例、校园景色的重要性，并计算权重值，随后填入上图左边矩阵的第一列；

③计算得分得出结论；

根据定义，方阵元素\(a_{ij}=\frac{i的重要程度}{j的重要程度}\) ，\(a_{jk}=\frac{j的重要程度}{k的重要程度}\)，所以应该有:\(a_{ik}=\frac{i的重要程度}{k的重要程度}=a_{ij} \times a_{jk}\)，可以想象，如果因素两两比较而填入1、3、5、7、9等等这些数字，肯定是不满足以上关系式的，所以就出现了不一致的情况，我们把满足以上关系的矩阵称为一致矩阵；通过一致矩阵我们可以确定最终的权重，而是否是一致矩阵则要通过一致性检验确定；