使用js实现变态跳台阶

/**
 * 变态跳台阶问题：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
 *
 * @param {number} n 台阶数
 * @returns {number} 跳法总数
 */
function jumpFloor(n) {
  // 特殊情况处理：0级或1级台阶
  if (n <= 1) {
    return 1;
  }

  // 动态规划：dp[i] 表示跳上 i 级台阶的跳法总数
  // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + ... + dp[0]  (i > 1)
  // 进一步简化：dp[i] = 2 * dp[i-1]
  // 或者更直接的数学公式：dp[i] = 2^(i-1)

  // 方法一：迭代法 (推荐，效率更高)
  // let dp = [1, 1]; // 初始化 dp[0] 和 dp[1]
  // for (let i = 2; i <= n; i++) {
  //   dp[i] = 2 * dp[i-1];
  // }
  // return dp[n];


  // 方法二：递归法 (简洁，但n较大时可能栈溢出)
  // if (n <= 1) {
  //   return 1;
  // } else {
  //   return 2 * jumpFloor(n - 1);
  // }


  // 方法三：数学公式法 (最简洁高效)
  return Math.pow(2, n - 1);
}


// 测试用例
console.log(jumpFloor(0)); // 输出 1
console.log(jumpFloor(1)); // 输出 1
console.log(jumpFloor(2)); // 输出 2
console.log(jumpFloor(3)); // 输出 4
console.log(jumpFloor(4)); // 输出 8
console.log(jumpFloor(10)); // 输出 512

解题思路和代码解释：

这个问题本质上是一个数学问题，可以找到规律并用公式直接计算。

1. 递推关系: 跳上 n 级台阶，最后一步可以跳 1 级，2 级，...，n 级。因此，跳上 n 级台阶的跳法总数等于跳上 n-1 级、n-2 级、...、0 级台阶的跳法总数之和。

2. 简化递推关系: 可以发现 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + ... + dp[0]。而 dp[i-1] = dp[i-2] + dp[i-3] + ... + dp[0]。因此，dp[i] = dp[i-1] + dp[i-1] = 2 * dp[i-1]。

3. 数学公式: 最终可以推导出 dp[n] = 2^(n-1)。

代码中提供了三种实现方法：

• 迭代法: 使用数组 dp 存储中间结果，避免重复计算，效率较高，推荐使用。
• 递归法: 代码简洁，但当 n 较大时，可能会导致栈溢出。
• 数学公式法: 最简洁高效的方法，直接使用公式计算结果。

根据实际情况选择合适的方法，一般情况下，迭代法或数学公式法是更优的选择。 如果n的值非常大，Math.pow(2, n - 1) 也可能会超出 JavaScript Number 类型的最大值，这时需要考虑使用 BigInt 来处理。