Mathematica数学学习快速入门指南

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• 1 进入数学快速入门官网文档
• 2 面向数学学习的快速入门指南
  • 2.1 内容输入
  • 2.2 分数与小数
  • 2.3 变量与函数
  • 2.4 代数
  • 2.5 二维绘图
  • 2.6 几何
  • 2.7 三角函数
  • 2.8 极坐标
  • 2.9 指数和对数
  • 2.10 极限
  • 2.11 导数
  • 2.12 积分
  • 2.13 序列、求和与级数
  • 2.14 更多二维绘图
  • 2.15 三维绘图
  • 2.16 多变量微积分
  • 2.17 矢量分析与可视化
  • 2.18 微分方程
  • 2.19 复分析
  • 2.20 矩阵与线性代数
  • 2.21 离散数学
  • 2.22 概率
  • 2.23 统计
  • 2.24 绘制数据与最佳拟合曲线
  • 2.25 群论
  • 2.26 数学难题
  • 2.27 交互模型
  • 2.28 数学排版显示
  • 2.29 笔记本文档
  • 2.30 云部署

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2 面向数学学习的快速入门指南

2.1 内容输入

在网络或桌面 Wolfram 笔记本中，只须输入内容，然后按下 SHIFT+ENTER 进行计算：

In[1]:=

Out[1]=

In[n] 和 Out[n] 标示出相邻的输入和输出. % 符号指代最近的输出：

In[1]:=

Out[1]=

In[2]:=

Out[2]=

执行完计算以后，建议栏会提供下一步计算的建议：

在数学运算中可以使用标准符号：

（用空格或 * 表示乘法，不要用字符 “x”.）

In[1]:=

Out[1]=

用小括号（不是中括号或大括号）显示不同层次的组合：

In[2]:=

Out[2]=

Wolfram 语言有大约 6,000 个内置函数，涵盖了各个方面的数学知识.

用逗号分隔内置函数的参数，并将其置于方括号内：

In[1]:=	GCD[12, 15]

Out[1]=

如果不知道使用哪个函数，在行的开始处键入 = 即可进行自然语言输入：

In[2]:=	plot a sine curve

Out[2]=

Lists 表示一些项的集合，用 { ... } 表示：

In[1]:=	{1, 2, 3} {x, y, z}

列表是有序的. 可以包含数字、变量、计算，甚至是其他列表：

许多运算是被应用到每个元素上的：

In[2]:=	{1, 2, 3} + 2

Out[2]=

从 1 开始，可以用 [[ ... ]] 来提取列表的元素：

In[3]:=	{a, b, c, d}[[3]]

Out[3]=

通过使用如 Range 这样的函数可以轻松构建列表：

In[1]:=	Range[10]

Out[1]=

2.2 分数与小数

在 Wolfram 语言中，精确输入（如分数）会提供精确的输出：

（用 CTRL+ / 输入分数.）

In[1]:=	1/4 + 1/3

Out[1]=

用 Together 写成最小公分母的形式：

In[2]:=	Together[1/a + 1/b]

Out[2]=

任何含有小数的输入给出近似输出：

In[1]:=	.25 + 1/3

Out[1]=

用 N 得到结果的数字近似值：

In[2]:=	N[1/4 + 1/7]

Out[2]=

指定所示答案的准确度：

In[3]:=	N[1/4 + 1/7, 10]

Out[3]=

有些数字表示成 ScientificForm 形式会更合适：

In[1]:=	ScientificForm[0.00123]

Out[1]=

在适合的情况下，系统自动使用 ScientificForm 形式：

In[2]:=	N[100!]

Out[2]=

2.3 变量与函数

变量以字母开头，可以含有数字：

（最好是用小写字母，把大写开头留给内置函数.）

In[1]:=	a1/2

Out[1]=

两个变量或数字间的空格表示相乘：

（换句话说，“a b” 表示 a 乘以 b，而 “ab” 则为变量 ab.）

In[2]:=	a b + 5 x x

Out[2]=

用 /. 和 -> 在表达式中进行替代操作：

（可用 -> 输入 “rule” -> .）

In[3]:=	1 + 2 x /. x -> 2

Out[3]=

用 = 符号赋值：

In[1]:=	x = 2

Out[1]=

在表达式和命令中使用变量：

In[2]:=	1 + 2 x

Out[2]=

清除赋值，x 保持未计算状态：

In[3]:=	Clear[x] 1 + 2 x

Out[3]=

用 f[x_]:= 来定义自己的函数：

In[1]:=	f[x_] := 1 + 2 x

x_ 表示 x 是一个模式，任何值都可以取代它.

:= 表示在计算时传递给 f 的任何参数将被代入右侧：

In[2]:=	f[2]

Out[2]=

2.4 代数

可以因式分解或展开代数表达式：

（用 CTRL+6 输入排版式指数.)

In[1]:=	Factor[x^2 + 2 x + 1]

Out[1]=

Wolfram 语言用 == （两个等号）检测是否相等：

In[1]:=	2 + 2 == 4

Out[1]=

用 == 把代数表达式组合在一起表示方程：

In[2]:=	1 + z == 15

Out[2]=

像 Solve 这样的命令给出的是方程的精确解：

In[1]:=	Solve[x^2 + 5 x - 6 == 0, x]

Out[1]=

如果想要得到近似结果，用 NSolve：

In[2]:=	NSolve[7 x^2 + 3 x - 5 == 0, x]

Out[2]=

以列表形式把一个方程组传递给函数：

In[3]:=	Solve[{x^2 + 5 == y, 7 x - 5 == y}, {x, y}]

Out[3]=

求方程的根：

（|| 是 Or 的符号.）

In[1]:=	Roots[x^2 + 3 x - 4 == 0, x]

Out[1]=

如果一个多项式不易被因式分解，近似结果可能更有用：

In[2]:=	NRoots[360 + 234 x - 1051 x^2 + 11 x^3 + 304 x^4 - 20 x^5 == 0, x]

Out[2]=

Reduce 命令可把一组不等式化简成简单的形式：

（可键入 <= 得到 ≤ 符号.）

In[1]:=	Reduce[{0 < x < 2, 1 <= x <= 4}, x]

Out[1]=

简化形式可以包含多个区间：

In[2]:=	Reduce[(x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) > 0, x]

Out[2]=

NumberLinePlot 是可视化这些结果的简便方法：

| In[3]:= | NumberLinePlot[x < 1 || 2 < x < 3 || x > 4, {x, -10, 10}] |
| ------- | ------------------------------------------------------------ |

Out[3]=

通过自然语言输入可以得到许多方程和公式：

In[1]:=	quadratic equation

Out[1]=

2.5 二维绘图

生成多项式函数的二维曲线：

（区间 {x,min,max} 定义了绘图范围.）

In[1]:=	Plot[x^2 + 2 x + 1, {x, -10, 10}]

Out[1]=

或者绘制一组不等式的二维区域：

（&& 是 And 的符号.）

In[2]:=	RegionPlot[Reduce[{x^2 + y < 2 && x + y < 1}], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

Out[2]=

有许多有用的选项可以用来自定义可视化，比如，可以加上图例：

In[1]:=	Plot[{x^3, x^2, x}, {x, -2, 2}, PlotLegends -> "Expressions"]

Out[1]=

或对绘图进行填充来查看曲线下的面积：

In[2]:=	Plot[1/x, {x, -3, 3}, Filling -> Axis]

Out[2]=

用 Show 来组合不同的绘图类型：

In[1]:=	Show[{Plot[x^2 + 2, {x, -3, 3}], RegionPlot[2 x > y - 3, {x, -3, 3}, {y, 0, 9}]}]

Out[1]=

2.6 几何

Graphics 命令可以生成各种各样的二维形状：

In[1]:=	Graphics[Disk[]]

Out[1]=

许多几何对象接受一系列坐标（列表）作为参数：

In[2]:=	Graphics[Rectangle[{0, 0}, {4, 2}]]

Out[2]=

与指令一起以列表形式传递参数，把图形组合在一起并改变它们的样式：

In[3]:=	Graphics[{Green, Rectangle[{0, 0}, {2, 2}], Red, Disk[]}]

Out[3]=

用诸如 SASTriangle 这样的命令生成三角形：

（键入 ESC+deg+ESC 可输入 ° 符号.）

In[1]:=	tr = SASTriangle[1, 90 \[Degree], 2]

Out[1]=

可以直接算出如面积这样的属性：

In[2]:=	Area[tr]

Out[2]=

把该表达式传递给 Graphics：

In[3]:=	Graphics[tr]

Out[3]=

同样，可以用 Graphics3D 显示三维物体：

In[1]:=	Graphics3D[Ball[]]

Out[1]=

计算体积及其他属性：

（如果没有给出参数，圆柱的半径为1，高度为 2.）

In[2]:=	Volume[Cylinder[]]

Out[2]=

还可以用自然语言输入查找公式和其他信息：

In[3]:=	volume of a cone

Out[3]=

系统还内置有几何变换，如 Rotate、Translate 和 Scale：

In[1]:=	Graphics[Rotate[Rectangle[], 45 \[Degree]]]

Out[1]=

2.7 三角函数

对于基本的三角函数，可以使用标准的缩写形式（首字母大写）：

In[1]:=	Sin[x]/Cos[x] == Tan[x]

Out[1]=

加上 “Arc” 求反函数：

In[2]:=	ArcTan[1]

Out[2]=

在弧度表达式中使用 Pi：

（键入 ESC+pi+ESC 来输入 π 字符.）

In[1]:=	Sin[\[Pi]/2]

Out[1]=

或输入 ESCd+eg+ESC 得到内置的 Degree 符号：

In[2]:=	Sin[90 \[Degree]]

Out[2]=

用恒等式自动展开（或化简）三角表达式：

In[1]:=	TrigExpand[Sin[2 x]]

Out[1]=

因式分解三角多项式：

In[2]:=	TrigFactor[Cos[x]^2 - Sin[x]^2]

Out[2]=

也可以使用像 Solve 这样的函数：

In[1]:=	Solve[Cos[x]^2 + Sin[x]^2 == x]

Out[1]=

指定解的值域：

In[2]:=	Solve[{Tan[x] == 1, 0 < x < 2 Pi}]

Out[2]=

2.8 极坐标

创建二维极坐标图：

（键入 ESC+th+ESC 可得到 θ 符号.）

In[1]:=	PolarPlot[Sin[2 \[Theta]] + Cos[2 \[Theta]], {\[Theta], 0, 2 Pi}]

Out[1]=

显示极坐标轴：

In[2]:=	PolarPlot[Sin[2 \[Theta]] + Cos[2 \[Theta]], {\[Theta], 0, 2 Pi}, PolarAxes -> Automatic, PolarTicks -> {0 \[Degree], 90 \[Degree], 180 \[Degree], 270 \[Degree]}]

Out[2]=

把直角坐标转换成极坐标：

In[1]:=	ToPolarCoordinates[{1, 1}]

Out[1]=

2.9 指数和对数

Wolfram 语言用 E 表示指数常数.

Log 给出一个表达式的自然对数：

In[1]:=	Log[E^2]

Out[1]=

计算以 2 为基数的对数：

In[2]:=	Log[2, 64]

Out[2]=

在对数刻度上绘图：

In[1]:=	LogPlot[E^x, {x, 1, 5}]

Out[1]=

把两个坐标轴都设成对数刻度：

In[2]:=	LogLogPlot[x^2 + x^3, {x, 1, 100}]

Out[2]=

2.10 极限

计算表达式的极限值：

（键入 -> 可得到  符号.）

In[1]:=	Limit[(x^3 - 1)/(x - 1), x -> 1]

Out[1]=

求 Infinity 处的极限：

（键入 ESC+inf+ESC 可得到 ∞ 符号.）

In[2]:=	Limit[(2 x^3 - 1)/(5 x^3 + x - 1), x -> \[Infinity]]

Out[2]=

还可以指定极限的方向.

设置为 1 时从左侧逼近极限：

In[1]:=	Limit[1/x, x -> 0, Direction -> 1]

Out[1]=

设置为 -1 时从右侧逼近极限：

In[2]:=	Limit[1/x, x -> 0, Direction -> -1]

Out[2]=

用 HoldForm 将表达式保持为未计算状态：

（TraditionalForm 用传统的数学排版形式显示.）

In[1]:=	TraditionalForm[HoldForm[Limit[1/x, x -> Infinity]]]

Out[1]=

2.11 导数

用命令 D 计算导数：

In[1]:=	D[x^6, x]

Out[1]=

或者使用角分符号：

In[2]:=	Sin'[x]

Out[2]=

对用户定义的函数求导：

In[1]:=	f[x_] := x^2 + 2 x + 1; f'[x]

Out[1]=

绘制导数：

In[2]:=	Plot[{f[x], f'[x]}, {x, -3, 3}]

Out[2]=

还可以多次求导：

In[1]:=	D[x^6, {x, 3}]

Out[1]=

或者多次使用 ' 符号：

In[2]:=	Sin''[x]

Out[2]=

和前面讨论过的主题一样，也可以通过自然语言输入得到微积分公式：

In[1]:=	product rule formula

Out[1]=

2.12 积分

用 Integrate 计算积分：

In[1]:=	Integrate[8 x^4, x]

Out[1]=

或输入 ESC+intt+ESC 得到一个可填充的数学表达式：

（如果想了解更多关于可填充表达式的信息，请参阅数学排版显示.）

In[2]:=	\[Integral]8 x^4 \[DifferentialD]x

Out[2]=

对于定积分，输入 ESC+dintt+ESC 并指定上下限：

In[1]:=	\!\( \*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(0\), \(\[Pi]\)]\(Sin[ x] \[DifferentialD]x\)\)

Out[1]=

用 NIntegrate 来得到数值近似：

In[2]:=	NIntegrate[x^3 Sin[x] + 2 Log[3 x]^2, {x, 0, Pi}]

Out[2]=

2.13 序列、求和与级数

在 Wolfram 语言中，用列表表示整数序列.

用 Table 来定义一个简单的序列：

In[1]:=	Table[x^2, {x, 1, 7}]

Out[1]=

系统内置有大家熟知的序列：

In[2]:=	Table[Fibonacci[x], {x, 1, 7}]

Out[2]=

用 RecurrenceTable 定义递归序列：

（注意 {x,min,max} 表示法的使用.）

In[1]:=	RecurrenceTable[{a[x] == 2 a[x - 1], a[1] == 1}, a, {x, 1, 8}]

Out[1]=

计算序列的 Total：

In[2]:=	Total[%]

Out[2]=

根据母函数计算序列的 Sum：

In[1]:=	Sum[i (i + 1), {i, 1, 10}]

Out[1]=

用 ESC+sumt+ESC 得到可填充的排版形式：

In[2]:=	\!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(10\)]\(i \((i + 1)\)\)\)

Out[2]=

可以进行不定求和与多重求和计算：

In[3]:=	\!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(n\)]\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(j = 1\), \(n\)]i\ j\)\)

Out[3]=

计算序列的母函数：

In[1]:=	FindSequenceFunction[{2, 4, 6, 8}, n]

Out[1]=

生成几乎任意内置函数的组合的幂级数近似：

In[1]:=	Series[Exp[x^2], {x, 0, 8}]

Out[1]=

O[x]⁹ 表示省略掉的更高次数的项；用 Normal 来截断这些项：

In[2]:=	Normal[%]

Out[2]=

给定一个未知或未定义的函数，Series 返回用导数表示的幂级数：

In[3]:=	Series[2 f[x] - 3, {x, 0, 3}]

Out[3]=

系统可自动化简收敛级数：

In[1]:=	\!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(n = 0\), \(\[Infinity]\)] \*SuperscriptBox[\(0.5\), \(n\)]\)

Out[1]=

2.14 更多二维绘图

用 ParametricPlot 来绘制一组参数方程：

In[1]:=	ParametricPlot[{2 Cos[t] - Cos[2 t], 2 Sin[t] - Sin[2 t]}, {t, 0, 2 Pi}]

Out[1]=

用多个变量绘制函数的 ContourPlot：

In[1]:=	ContourPlot[Sqrt[x^2 + y^2], {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]

Out[1]=

用 DensityPlot 绘制连续形式的图：

In[2]:=	DensityPlot[Sqrt[x^2 + y^2], {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]

Out[2]=

2.15 三维绘图

Plot3D 可绘制三维的笛卡尔曲线或曲面：

In[1]:=	Plot3D[x^2 - y^2 , {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

Out[1]=

用 ParametricPlot3D 绘制三维空间曲线：

In[2]:=	ParametricPlot3D[{Sin[u], Cos[u], u/10}, {u, 0, 20}]

Out[2]=

如果想在球面坐标系中绘图，用 SphericalPlot3D：

In[3]:=	SphericalPlot3D[Sin[\[Theta]], {\[Theta], 0, Pi}, {\[Phi], 0, 2 Pi}]

Out[3]=

RevolutionPlot3D 通过绕轴旋转一个表达式构建曲面：

In[1]:=	RevolutionPlot3D[x^4 - x^2, {x, -1, 1}]

Out[1]=

2.16 多变量微积分

D 可用于求偏导数，只需指定对哪个或哪些变量求导：

In[1]:=	D[x^3 z + 2 y^2 x + y z^3, y, z]

Out[1]=

或使用 ∂ 符号：

（键入 ESC+pd+ESC 可以输入 ∂，CTRL+- 产生下标.）

In[2]:=	\!\( \*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(x, y\)]\(( \*SuperscriptBox[\(x\), \(2\)] - 2 x\ y + x\ y\ z)\)\)

Out[2]=

多重积分与单个积分的符号是一样的：

(键入 ESC+int+ESC 可得到 ∫，用 ESC+dd+ESC 得到 .)

In[1]:=	\[Integral]\[Integral]\[Integral](x^2 + y^2 + z^2) \[DifferentialD]y \[DifferentialD]x \[DifferentialD]z

Out[1]=

符号式结果常常相当复杂：

In[2]:=	\!\( \*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(-1\), \(1\)]\( \*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(-2\), \(x\)]\((x\ Sin[ \*SuperscriptBox[\(y\), \(2\)]] + y\ Cos[ \*SuperscriptBox[\(x\), \(2\)]])\) \[DifferentialD]y \ \[DifferentialD]x\)\)

Out[2]=

这种情况下，总可以通过使用 N 命令得到近似结果：

In[3]:=	N[%, 5]

Out[3]=

2.17 矢量分析与可视化

在 Wolfram 语言中，用长度为 n 的列表表示 n 维矢量.

计算两个矢量的点积：

In[1]:=	{1, 2, 3}.{a, b, c}

Out[1]=

输入 ESC+cross+ESC 得到叉乘符号：

In[2]:=	{1, 2, c}\[Cross]{a, b, c}

Out[2]=

计算矢量的模：

In[1]:=	Norm[{1, 1, 1}]

Out[1]=

求矢量在 x 轴上的投影：

In[2]:=	Projection[{8, 6, 7}, {1, 0, 0}]

Out[2]=

求两个矢量的夹角：

In[3]:=	VectorAngle[{1, 0}, {0, 1}]

Out[3]=

计算矢量的梯度：

（用 ESC+grad+ESC 输入 ∇ 符号.）

In[1]:=	\!\( \*SubscriptBox[\(\[Del]\), \({x, y}\)]\({ \*SuperscriptBox[\(x\), \(2\)] + y, x + \*SuperscriptBox[\(y\), \(2\)]}\)\)

Out[1]=

计算向量场的散度或旋度：

In[2]:=	Div[{f[x, y, z], g[x, y, z], h[x, y, z]}, {x, y, z}]

Out[2]=

Wolfram 语言拥有适合于可视化向量场的二维和三维函数：

In[1]:=	VectorPlot[{y, -x}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

Out[1]=

In[2]:=	VectorPlot3D[{y, -x, z}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, {z, -3, 3}]

Out[2]=

在切片曲面上绘制向量场：

In[3]:=	SliceVectorPlot3D[{y, -x, z}, "CenterPlanes", {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, {z, -2, 2}]

Out[3]=

2.18 微分方程

Wolfram 语言可以求解常微分方程、偏微分方程和时滞微分方程 （ODE、PDE 和 DDE）.

DSolveValue 接受微分方程并返回通解：

（C[1] 表示积分常数.）

In[1]:=	sol = DSolveValue[y'[x] + y[x] == x, y[x], x]

Out[1]=

用 /. 替换常数：

In[2]:=	sol /. C[1] -> 1

Out[2]=

或为特解加上条件：

In[3]:=	DSolveValue[{y'[x] + y[x] == x, y[0] == -1}, y[x], x]

Out[3]=

NDSolveValue 可求出数值解：

In[1]:=	NDSolveValue[{y'[x] == Cos[x^2], y[0] == 0}, y[x], {x, -5, 5}]

Out[1]=

可直接绘制 InterpolatingFunction：

In[2]:=	Plot[%, {x, -5, 5}]

Out[2]=

如果想要求解微分方程组，把所有方程和条件都放在列表中：

（注意：换行符没有任何影响.）

In[1]:=	{xsol, ysol} = NDSolveValue[ {x'[t] == -y[t] - x[t]^2, y'[t] == 2 x[t] - y[t]^3, x[0] == y[0] == 1}, {x, y}, {t, 20}]

Out[1]=

用参数图可视化解：

In[2]:=	ParametricPlot[{xsol[t], ysol[t]}, {t, 0, 20}]

Out[2]=

2.19 复分析

虚部单位 表示为 I：

In[1]:=	I^2

Out[1]=

许多运算可以自动处理复数：

In[2]:=	(1 + I) (2 - 3 I)

Out[2]=

展开复数表达式：

In[1]:=	ComplexExpand[Sin[x + I y]]

Out[1]=

在指数形式和三角函数形式之间转换表达式：

In[2]:=	ExpToTrig[E^(I x)]

Out[2]=

In[3]:=	TrigToExp[%]

Out[3]=

输入 ESC+co+ESC 可得到 Conjugate 符号：

In[1]:=	(3 + 2 I)\[Conjugate]

Out[1]=

提取表达式的实部和虚部：

In[2]:=	ReIm[3 + 2 I]

Out[2]=

或求绝对值和辐角：

In[3]:=	AbsArg[(1 + I)]

Out[3]=

用 ParametricPlot 绘制保角映射：

In[1]:=	ParametricPlot[ReIm[E^(I \[Omega])], {\[Omega], 0, 2 \[Pi]}]

Out[1]=

在 PolarPlot 中使用 AbsArg：

In[2]:=	PolarPlot[AbsArg[E^(I \[Omega])], {\[Omega], 0, \[Pi]}]

Out[2]=

用 DensityPlot 可视化复分量：

In[3]:=	DensityPlot[Im[ArcSin[(x + I y)^2]], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

Out[3]=

2.20 矩阵与线性代数

Wolfram 语言用列表的列表表示矩阵：

In[1]:=	{{1, 2}, {3, 4}}

输入一个表格，用 CTRL+ ENTER 输入行，用 CTRL+ , 输入列：

In[2]:=	{ {a, b}, {c, d} }

Out[2]=

MatrixForm 将输出显示为一个矩阵：

In[3]:=	MatrixForm[{{a, b}, {c, d}}]

Out[3]=

可以用迭代函数构建矩阵：

In[1]:=	Table[x + y, {x, 1, 3}, {y, 0, 2}]

Out[1]=

或导入表示矩阵的数据：

In[2]:=	Import["data.csv"]

Out[2]=

IdentityMatrix、DiagonalMatrix 和其他类似命令为内置符号.

标准的矩阵运算对元素进行操作：

In[1]:=	{1, 2, 3} {a, b, c}

Out[1]=

计算两个矩阵的点积：

In[2]:=	{{1, 2}, {3, 4}}.{{a, b}, {c, d}}

Out[2]=

求行列式：

In[3]:=	Det[{{a, b}, {c, d}}]

Out[3]=

获取矩阵的逆：

In[4]:=	Inverse[{{1, 1}, {0, 1}}]

Out[4]=

用 LinearSolve 求解线性系统：

In[1]:=	LinearSolve[{{1, 1}, {0, 1}}, {x, y}]

Out[1]=

还有用于最小化和矩阵分解的函数.

2.21 离散数学

进行基本的数论运算，如因子分解：

In[1]:=	FactorInteger[30]

Out[1]=

求任意两个整数的最大公约数（或最小公倍数 ）：

In[2]:=	GCD[24, 60]

Out[2]=

显示第 4 个质数：

In[1]:=	Prime[4]

Out[1]=

判断一个数是否是质数：

In[2]:=	PrimeQ[%]

Out[2]=

也可以进行互质判定：

In[3]:=	CoprimeQ[51, 15]

Out[3]=

用 Mod 函数求余数：

In[1]:=	Mod[17, 5]

Out[1]=

获取一个列表所有可能的排列：

In[1]:=	Permutations[{a, b, c}]

Out[1]=

用不相交 Cycles 对列表应用 Permute：

（Cycles 接受列表的列表作为参数.）

In[2]:=	Permute[{a, b, c, d}, Cycles[{{2, 4}, {1, 3}}]]

Out[2]=

求置换阶数：

In[3]:=	PermutationOrder[Cycles[{{2, 4}, {1, 3}}]]

Out[3]=

根据边的列表生成 Graph：

（用 ESC+ue+ESC 输入 UndirectedEdge，或用 ESC+de+ESC 输入 DirectedEdge.）

In[1]:=	Graph[{1 <-> 2, 2 \[DirectedEdge] 3, 3 \[DirectedEdge] 4, 4 <-> 1, 3 \[DirectedEdge] 1, 2 \[DirectedEdge] 2}, VertexLabels -> All]

Out[1]=

求两个顶点间最短的路径：

In[2]:=	FindShortestPath[%, 3, 2]

Out[2]=

用自然语言输入了解众所周知的图：

In[3]:=	pappus graph image

Out[3]=

2.22 概率

Wolfram 语言含有范围广泛的概率函数，以及几百个符号分布.

用数学符号计算阶乘：

In[1]:=	5!

Out[1]=

对于组合，可使用 Binomial：

In[2]:=	Binomial[4, 3]

Out[2]=

计算二项分布的概率：

（键入 ESC+dist+ESC 可得到 符号.)

In[1]:=	Probability[x == 1, x \[Distributed] BinomialDistribution[1, 1/2]]

Out[1]=

计算多项式的期望：

In[2]:=	Expectation[2 x + 3, x \[Distributed] NormalDistribution[]]

Out[2]=

获取正态分布的符号式 PDF：

In[1]:=	PDF[NormalDistribution[0, 1], x]

Out[1]=

对结果绘图：

In[2]:=	Plot[%, {x, -5, 5}, Filling -> Axis]

Out[2]=

自由格式输入可用来计算现实世界事件的概率：

In[1]:=	birthday problem 18 people

Out[1]=

2.23 统计

在 Wolfram 语言中，统计函数可接受列表或符号分布作为参数：

计算一组数字的均值：

In[1]:=	Mean[{1, 2, 4, 5}]

Out[1]=

求多个列表的相关：

In[2]:=	Correlation[{1, 3, 5}, {6, 4, 2}]

Out[2]=

求泊松分布的标准差：

In[3]:=	StandardDeviation[PoissonDistribution[2]]

Out[3]=

计算一组符号的矩：

In[1]:=	Moment[{x, y, z}, 2]

Out[1]=

获取分布的矩母函数：

（键入 ESC+m+ESC 可得到 μ，或键入 ESC+s+ESC 得到 σ.)

In[2]:=	MomentGeneratingFunction[NormalDistribution[\[Mu], \[Sigma]], t]

Out[2]=

用 RandomVariate 产生统计数据：

（用 //Short 来得到输出的简短总结.）

In[1]:=	RandomVariate[NormalDistribution[0, 1], {500, 2}] // Short

Out[1]=

可视化所得数据：

In[2]:=	Histogram3D[%]

Out[2]=

2.24 绘制数据与最佳拟合曲线

用 ListPlot 绘制数据点：

In[1]:=	ListPlot[{1, 3, 4, 7, 9, 15}]

Out[1]=

或用图表显示信息：

In[2]:=	BarChart[{1, 2, 3, 4, 5}]

Out[2]=

有专门的函数绘制时间序列、金融数据，还有许多其他绘图函数.

自动对多个数据集添加不同的颜色以示区分：

In[1]:=	ListLinePlot[{{1, 2, 3, 4, 5}, {1, 3, 7, 10, 17}}]

Out[1]=

通过使用如 PlotTheme 这样的选项可以改变绘图的样式和外观.

用 Fit 命令找到最佳拟合曲线：

（{1,x,x²} 表示 x 的二次拟合.）

In[1]:=	Fit[{2, 3, 5, 7, 11, 13}, {1, x, x^2}, x]

Out[1]=

用 Show 将曲线与数据点相比较：

In[2]:=	Show[{Plot[%, {x, 1, 6}], ListPlot[{2, 3, 5, 7, 11, 13}]}]

Out[2]=

2.25 群论

SymmetricGroup、AlternatingGroup、DihedralGroup 和许多其他已命名群属于内置符号.

获取群的元素列表：

In[1]:=	GroupElements[SymmetricGroup[2]]

Out[1]=

确定群的生成元：

In[2]:=	GroupGenerators[SymmetricGroup[3]]

Out[2]=

用两个生成元创建一个置换群：

In[1]:=	PermutationGroup[{Cycles[{{3, 1, 2}}], Cycles[{{2, 5, 6}}]}]

计算阶数：

In[2]:=	GroupOrder[%]

Out[2]=

显示群的乘法表：

In[1]:=	TableForm[GroupMultiplicationTable[DihedralGroup[2]], TableHeadings -> Automatic]

Out[1]=

用 Cayley 图可视化：

In[2]:=	CayleyGraph[DihedralGroup[2]]

Out[2]=

2.26 数学难题

Wolfram 语言是解决极具挑战性的数学难题和游戏的绝佳平台. 一旦明白其中的原理，用它来做研究就会得心应手.

假设你想在 100 万以内找出与 100 万没有公因子的正整数的个数.

那就从用 CoprimeQ 把前 100 万个正整数与 100 万相比开始.

In[1]:=	CoprimeQ[Range[1000000], 1000000] // Short

Out[1]=

通过用 Nothing 替换结果为 False 的项，自动将其移除：

In[2]:=	% /. False -> Nothing // Short

Out[2]=

然后计算所得列表的长度：

In[3]:=	Length[%]

Out[3]=

把这些步骤放在一条命令中：

In[4]:=	Length[CoprimeQ[Range[1000000], 1000000] /. False -> Nothing]

Out[4]=

符号表达式经常能给出直接解. 给定一个正整数 k，你能找出计算 1^k+2^k+...+n^k 的和的公式吗？

k=2 时的解：

In[1]:=	\!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(n\)] \*SuperscriptBox[\(i\), \(2\)]\)

Out[1]=

通用解是第 n 个阶数为 −k 的调和数：

In[2]:=	\!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(n\)] \*SuperscriptBox[\(i\), \(k\)]\)

Out[2]=

利用内置图形可以很容易地可视化几何问题. 来看下面的图形：

In[1]:=	Labeled[Graphics[ shape = {Rectangle[], Rectangle[{0, 1}], Rectangle[{1, 0}]}], n]

Out[1]=

对于给定的基底长度 n，可不可能用类似的基底长度为 1 的形状来填充这个图形？

n=2 时的解：

In[2]:=	Graphics[{ Scale[shape, 2, {0, 0}], {Yellow, shape}, {Green, Translate[shape, {1, 1}]}, {Blue, Translate[Rotate[shape, -90 \[Degree]], {0, 2}]}, {Red, Translate[Rotate[shape, 90 \[Degree]], {2, 0}]} }]

Out[2]=

n=3 时的解：

In[3]:=

Graphics[{ Scale[shape, 3, {0, 0}], {Orange, shape}, {Magenta, Translate[Rotate[shape, -90 \[Degree]], {0, 2}]}, {Green, Translate[shape, {1, 1}]}, {Red, Translate[Rotate[shape, 90 \[Degree]], {2, 0}]}, {Black, Translate[shape, {0, 4}]}, {Blue, Translate[Rotate[shape, 180 \[Degree]], {1, 4}]}, {Gray, Translate[shape, {2, 2}]}, {Purple, Translate[Rotate[shape, -90 \[Degree]], {4, 1}]}, {Yellow, Translate[Rotate[shape, 90 \[Degree]], {4, 0}]} }]

Out[3]=

可以通过自然语言输入获取有名的游戏、难题和谜题：

In[1]:=	Tower of Hanoi 2 disk solution

Out[1]=

2.27 交互模型

通过 Manipulate 命令可以交互式地实时查看改变参数会发生什么：

In[1]:=	Manipulate[Plot[Sin[f x], {x, -3, 3}, Filling -> Axis], {f, 1, 5}]

Out[1]=

一个单独的 Manipulate 命令中可以有多个控件，Wolfram 语言将自动选择控件最合适的布局：

In[1]:=	Manipulate[Plot[Sin[f*x + p], {x, -3, 3}, Filling -> fill, PlotStyle -> color], {f, 1, 5}, {p, 3, 9}, {fill, {Bottom, Top, Axis}}, {color, Red}]

Out[1]=

Wolfram 语言中的任意表达式都可被操控，包括非图形表达式：

In[1]:=	Manipulate[Expand[(a + b)^n], {n, 1, 20, 1}]

Out[1]=

2.28 数学排版显示

用键盘快捷键（如 CTRL+/ 可用于分数的输入）插入可填充的排版表达式：

（点击方框突出显示并填充，或按下 TAB 在各方框间移动.）

这是输入指数 (CTRL+6)、下标 (CTRL+-) 和其他常见表达式的简单方法.

在笔记本中按下 ESC 键得到 符号，可用在键盘快捷输入形式

（在文档中常记为 ESC+alias+ESC )中.

键入正确的别名，当右侧的输入完成后，表达式就会发生改变：

（偏微分 “partial derivative” 的别名是 “pd”.）

产生求和、积分和其他高级表达式的方法为：

（定积分 “definite integral” 的别名是 “dintt”.）

许多希腊字母和其他特殊字符也使用这种形式.

在桌面版的笔记本中，可以选择面板菜单中的“数学助手”查看可用的排版形式.

点击面板上的按钮即可在鼠标所在处插入一个可填充表达式：

使用 TraditionalForm 命令以传统数学符号显示任意表达式：

In[1]:=	TraditionalForm[(y + 3)^2/((y - 2) (y + 5))]

Out[1]=

用 SHIFT+CMD+T （SHIFT+ALT+T)把现有单元转换成 TraditionalForm：

（TraditionalForm 形式的表达式仍然是可计算的.）

In[2]:=	Limit[(x^2 - 1)/(x - 1), x -> 0]

In[3]:=	\!\(\*UnderscriptBox[\(lim\), \(x \[Rule] 0\)]\)( x^2 - 1)/(x - 1)

Out[3]=

2.29 笔记本文档

可以在桌面或网页上使用 Wolfram 笔记本，它成功地把文字、图形、界面等与计算融合在一起：

笔记本是按单元组织的，并由右边的方括号指定，

双击单元方括号打开或关闭单元组，

在单元间点击可以获取水平插入条，以便创建一个新的单元；

拷贝、粘贴、删除任何单元集合等.

选中任何单元集合并按住 SHIFT+ENTER 对输入进行计算.

在笔记本中可以加上标题、章节或文本单元：

把笔记本转换成幻灯片也是易如反掌：

与 Wolfram 语言的其他内容一样，文档也是可被程序化改变的符号表达式.

2.30 云部署

CloudDeploy 可把对象部署到 Wolfram Cloud.

创建一个有正弦波图片的网页：

In[1]:=	CloudDeploy[Plot[Sin[x], {x, 0, 50}]]

[Out1]=

部署一个动态界面：

In[1]:=	CloudDeploy[Manipulate[Plot[Sin[f x], {x, 0, 2 Pi}], {f, 1, 10}]]

[Out1]=

无论是否是动态部署，从笔记本部署的内容都会保留其样式.

用 CloudDeploy[Delayed[...]] 部署表达式，每次被请求时都对其重新进行计算.