8.2.插入排序

1. 直接插入排序

核心思想：

1. 每次取出待排序数组中的首元素，将其按关键字大小插入到前面的已排序序列中，直到所有元素都插入完毕。
   
   

实现代码（C语言）：

// 插入排序函数
void insertionSort(int arr[], int n) {
    int i, key, j;
    for (i = 1; i < n; i++) {
        key = arr[i];
        j = i - 1;

        // 将大于key的元素向后移动
        while (j >= 0 && arr[j] > key) {
            arr[j + 1] = arr[j];
            j = j - 1;
        }
        arr[j + 1] = key;
    }
}

算法特性：

1. 数组已经有序时，最好时间复杂度为\(O(n)\)，当数组完全逆序时，最坏时间复杂度为\(O(n^{2})\)，平均时间复杂度为\(O(n^{2})\)。

2. 空间复杂度为\(O(1)\)，原地排序，插入排序是稳定的排序算法，插入排序对于部分有序的数组非常高效。

3. 直接插入排序可以用与顺序存储和链式存储的线性标，折半插入排序只能用于顺序存储的线性表。
   
   

常见问题：

1. 如何优化插入排序？

   1. 可以使用二分查找来确定插入元素的位置，减少了查找次数，但是交换次数仍然不变，所以优化效果不是非常明显。

2. 插入排序适用于什么场景？

   1. 插入排序适用于，数据量比较小，或者数组元素已经部分有序的数组，因为插入排序的常数因子较小，实现简单，在小规模数据上表现良好。
      
      

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2. 希尔排序

核心思想：

1. 希尔排序是插入排序的改进版本。

2. 希尔排序的核心思想在于将数组分成多个子序列来进行插入排序，子序列不是由连续的元素构成的，而是相隔特定增量的元素构成的。

3. 对于每个子序列进行插入排序。

4. 排序完成之后，缩小增量重复2和3，直到增量为1，此时进行插入排序，数组基本有序，插入排序的效率显著提升。
   
   

代码实现（C语言）：

// 希尔排序函数
void shellSort(int arr[], int n) {
    // 初始增量设为数组长度的一半
    for (int gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) {
        // 对每个子序列进行插入排序
        for (int i = gap; i < n; i++) {
            int temp = arr[i];
            int j;
            // 对当前子序列进行插入操作
            for (j = i; j >= gap && arr[j - gap] > temp; j -= gap) {
                arr[j] = arr[j - gap];
            }
            arr[j] = temp;
        }
    }
}

算法特性：

1. 希尔排序的时间复杂度依赖于增量序列的选择，所以时间复杂度分析比较困难，当n在某个范围时，希尔排序的时间复杂度约为\(O(n^{1.3})\)，最坏情况下的时间复杂度为\(O(n^{2})\)。

2. 空间复杂度为\(O(1)\)，原地排序，不稳定排序算法，对于部分有序的数组有较好的性能，能够充分利用插入排序在处理基本有序的数组时效率较高。

3. 希尔排序只能适用于顺序存储的线性表。
   
   

常见问题：

1. 希尔排序为什么比插入排序的效率高？

   1. 希尔排序通过设置不同的增量，使得数组元素快速移动到离其最终位置较近的地方，使得数组接近有序。当增量为1的时候，执行的就是普通插入排序，此时数组基本有序，所以插入排序的效率大大提升，所以整体效率比直接使用插入排序要高。

2. 代码中增量变化的基本规则是怎样的，有没有最优的增量序列？

   1. 常见增量变化的规则是，初始增量为数组长度的一半，每次将增量得到新增量。

   2. 目前还没有找到理论上最优的增量序列。