最小生成树之prim算法
最小生成树的Prim算法也是贪心算法的一大经典应用。Prim算法的特点是时刻维护一棵树，算法不断加边，加的过程始终是一棵树。
Prim算法过程：
一条边一条边地加， 维护一棵树。
初始 E ＝ ｛｝空集合， V = ｛任意节点｝
循环（n – 1）次，每次选择一条边（v1,v2）， 满足：v1属于V , v2不属于V。且（v1,v2）权值最小。
E = E + （v1,v2）
V = V + v2
最终E中的边是一棵最小生成树， V包含了全部节点。
以下图为例介绍Prim算法的执行过程。
Prim算法的过程从A开始 V = {A}, E = {}
选中边AF , V = {A, F}, E = {(A,F)} 
选中边FB, V = {A, F, B}, E = {(A,F), (F,B)}
选中边BD, V = {A, B, F, D}, E = {(A,F), (F,B), (B,D)}
选中边DE, V = {A, B, F, D, E}, E = {(A,F), (F,B), (B,D), (D,E)}
选中边BC, V = {A, B, F, D, E, c}, E = {(A,F), (F,B), (B,D), (D,E), (B,C)}, 算法结束。
Prim算法的证明：假设Prim算法得到一棵树P，有一棵最小生成树T。假设P和T不同，我们假设Prim算法进行到第(K – 1)步时选择的边都在T中，这时Prim算法的树是P’, 第K步时,Prim算法选择了一条边e = (u, v)不在T中。假设u在P’中，而v不在。
因为T是树，所以T中必然有一条u到v的路径，我们考虑这条路径上第一个点u在P’中，最后一个点v不在P’中，则路径上一定有一条边f = (x,y)，x在P’中，而且y不在P’中。
我们考虑f和e的边权w(f)与w(e)的关系：
若w(f) > w(e)，在T中用e换掉f （T中加上e去掉f)，得到一个权值和更小的生成树，与T是最小生成树矛盾。
若w(f) < w(e), Prim算法在第K步时应该考虑加边f，而不是e,矛盾。
因此只有w(f) = w(e),我们在T中用e换掉f，这样Prim算法在前K步选择的边在T中了，有限步之后把T变成P,而树权值和不变， 从而Prim算法是正确的。
请仔细理解Prim算法——时刻维护一棵生成树。
最后，我们来提供输入输出数据，由你来写一段程序，实现这个算法，只有写出了正确的程序，才能继续后面的课程。
输入
第1行：2个数N,M中间用空格分隔，N为点的数量，M为边的数量。（2 <= N <= 1000, 1 <= M <= 50000) 第2 - M + 1行：每行3个数S E W，分别表示M条边的2个顶点及权值。(1 <= S, E <= N，1 <= W <= 10000)
输出
输出最小生成树的所有边的权值之和。
输入示例
9 14 1 2 4 2 3 8 3 4 7 4 5 9 5 6 10 6 7 2 7 8 1 8 9 7 2 8 11 3 9 2 7 9 6 3 6 4 4 6 14 1 8 8
输出示例
37
//program 2-6
#include <iostream>
using namespace std;
const int INF = 0x3fffffff;
const int N = 1005;
bool s[N];
int closest[N];
int lowcost[N];
void Prim(int n, int u0, int c[N][N])
{ //顶点个数n、开始顶点u0、带权邻接矩阵C[n][n]
//如果s[i]=true,说明顶点i已加入最小生成树
//的顶点集合U；否则顶点i属于集合V-U
//将最后的相关的最小权值传递到数组lowcost
s[u0]=true; //初始时，集合中U只有一个元素，即顶点u0
int i;
int j;
for(i=1; i<=n; i++)
{
if(i!=u0)
{
lowcost[i]=c[u0][i];
closest[i]=u0;
s[i]=false;
}
else
lowcost[i]=0;
}
for(i=1; i<=n;i++) //在集合中V-u中寻找距离集合U最近的顶点t
{
int temp=INF;
int t=u0;
for(j=1;j<=n;j++)
{
if((!s[j])&&(lowcost[j]<temp))
{
t=j;
temp=lowcost[j];
}
}
if(t==u0)
break; //找不到t，跳出循环
s[t]=true; //否则，讲t加入集合U
for(j=1; j<=n;j++) //更新lowcost和closest
{
if((!s[j])&&(c[t][j]<lowcost[j]))
{
lowcost[j]=c[t][j];
closest[j]=t;
}
}
}
}
int main()
{
int n, c[N][N], m, u, v, w;
int u0;
//cout<<"输入结点数n和边数m:"<<endl;
cin>>n>>m;
int sumcost=0;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++)
c[i][j]=INF;
//cout <<"输入结点数u,v和边值w:"<<endl;
for(int i=1; i<=m; i++)
{
cin>>u>>v>>w;
c[u][v]=c[v][u]=w;
}
//cout <<"输入任一结点u0:"<<endl;
//cin >> u0 ;
//计算最后的lowcos的总和，即为最后要求的最小的费用之和
u0=1;
Prim(n, u0, c);
//cout <<"数组lowcost的内容为"<<endl;
//for(int i = 1; i <= n; i++)
//cout << lowcost[i] << " ";
//cout << endl;
for(int i = 1; i <= n; i++)
sumcost += lowcost[i];
cout <<sumcost<<endl;
return 0;
}
