QOJ10845 Moving Boxes

有 \(n\) 个箱子，第 \(i\) 个箱子需要从 \(a_i\) 移动到 \(b_i\)。你可以从任意坐标和任意方向出发，每次可以：

• 向当前方向移动，代价为 \(1\)
• 转向，代价为 \(C\)
• 装上当前坐标的节点 / 在当前坐标卸下箱子，这无需代价。

你每时每刻只能携带至多一个箱子。你需要在搬完所有箱子之后回到初始坐标（并保持初始方向）。问最小代价。

\(n \leq 10^6, a_i, b_i \leq 10^9\)。

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首先显然会考虑把箱子分成从左往右和从右往左的两种类型。

考虑去尝试构造一个代价的下限。一种有趣的思路是将所有箱子代表的线段 \([a_i, b_i]\) 离散化下来，然后考虑每一个段被经过的次数的下限。

假设一个散段被从左往右的箱子覆盖了 \(p_i\) 次，被从右往左覆盖了 \(q_i\) 次，那么由于路径从左往右和从右往左穿过一个散块的次数一定相等，因此这个散块最少被覆盖 \(2\max\{p_i, q_i, 1\}\) 次。大胆猜测这个下限是可以构造的。

先考虑简单的情况。如果 \(C = 0\) 时，那我们无需考虑方向的改变，那这时把每个散块的下限乘上该散块的长度求和就是答案。

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继续考虑 \(C = 1\)，由于转向代价很小，容易感觉到我们不会为了减小转向次数而去增大移动的代价，这样一定更劣。因此，考虑计数在最优移动次数下的最优转向次数。

继续把这个转向次数放在散块上去做，考虑相邻两个散块之间的这个交界点最少会发生多少次转向。不妨设 \(cnt_i = 2\max\{p_i, q_i, 1\}\) 表示第 \(i\) 个线段要被从左到右 / 从右到左总共贯穿 \(cnt_i\) 次。

下图考虑了每个与这个交界点有关的移动路径对 \(cnt\) 造成的影响。

容易发现，当在这个交界点发生了转向时，会有一个 \(cnt_{i}\) 减去 \(2\)，其他情况是 \(cnt_{i - 1}, cnt_{i}\) 同时减一。为了让转向尽量少，我们一定是要先尽量按照后者来做，因此这时交界点转向次数的下界是 \(|\dfrac{cnt_i}{2} - \dfrac{cnt_{i - 1}}{2}|\)。

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接下来的部分就比较容易了。当 \(C\) 可以是任意值的时候，我们是有可能通过多走一些散块让转向次数减少的。因此考虑调整，我们先从移动次数最少的时候考虑。

尝试刻画这个调整的过程，相当于我们可以选择一个散段，然后通过增加 \(cnt_i\)，让 \(\sum|\dfrac{cnt_i}{2} - \dfrac{cnt_{i - 1}}{2}|\) 这个值变小。

考虑 \(cnt_i\) 这个序列的连续递增 / 递减的序列。对于一个谷底的连续段，假设这个连续段长度为 \(len\)，我们需要操作 \(len\) 次才能让转向次数减少 \(2\)。因此，只有在 \(2C > len\) 时，这个操作才是优秀的。可以考虑直接贪心，每次选取 \(len\) 最短的那些连续段。由于这个 \(len\) 呈现出单调的形态，所以这个贪心的正确性是有保证的。那这题到这里就差不多做完了。

有些实现细节：\(cnt_0\) 和 \(cnt_{m + 1}\) 应该设为 \(0\)。

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对于这种思维题，确实很容易陷到里面。大概是要自信一点转变思路的。