DE_aemmprty 的草稿纸（2025.11.17 - 2025.12.31）

关于难度

• Easy 1-3：我是 wht，我一眼秒了，我觉得这题没啥技巧啊！
• Medium 4-6：完全自己想出，但想了较长时间。（或者没想出来但实际上不难）
• Hard 7-9：不完全是自己想出。

\([0, 1]\) 表示在同档题中的难度。

ZR3436 4

思维

倒序考虑，如果最终操作的人是小 A，那当 \(n > 1\) 时，无论什么情况都可以变成 \(0\)，故小 A 必胜。

先特判掉 \(n = 1\) 和最终操作的是小 A 的情况。

考虑小 A 和小 B 分别的决策。

• 小 A 会尽量让 \(0\) 多，让 \(1\) 少，那么如果有 \(\texttt{11}\) 就尽量操作成 \(\texttt{0}\)，否则就是删 \(\texttt{1}\)。

• 小 B 会尽量让 \(0\) 少，那每次一定是删 \(0\)。

就按这种方式操作即可。

QOJ970 8

可持久化线段树 二分

考虑一个单次询问 \(\mathcal{O}(n \log n)\) 的做法，我们二分答案，假设当前二分的值是 \(W\)。

考虑 \(x + y \leq W\)，\(\min\{x, y\} \leq \dfrac{W}{2}\)，因此我们把所有数分成两类，若 \(a_i \leq \dfrac{W}{2}\) 就赋值为 \(1\)，否则赋值为 \(0\)。

我们想要构造出恰好选择 \(k\) 个数的方案满足限制。如果我们选择尽量多的数，假设有 \(K\) 个，如果 \(K \geq k\)，我们就需要删除一些数调整大小到 \(k\)。

我们可以先删除 \(0\)，由于 \(0\) 两边一定都是 \(1\)（否则 \(0\) 和 \(0\) 相加一定 \(> W\)），删除 \(0\) 之后两边 \(1\) 相加一定 \(\leq W\)。如果没有 \(0\) 了，那么当前序列全都是 \(1\)，随便删即可。

现在我们想选择尽量多的数，可以证明选择所有 \(1\) 一定是不劣的。

如果存在一种选择最多数的方案没有选择所有 \(1\)，不妨设 \(a_i\) 是 \(1\) 且没有被选择：

• 如果 \(a_i\) 向左第一个被选择的数是 \(L\)，向右是 \(R\)，若这两个数有一个是 \(0\)，则删除 \(0\)，插入 \(1\) 一定可行。

• 否则说明两边都是 \(0\)，直接插入即可。

因此，我们先选上所有的 \(1\)，那相邻两个 \(1\) 最多只能插入一个 \(0\)，我们判断一下这段区间中的 \(a_i\) 最小值能否插入即可。单次询问时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n \log V)\)

---

对于每个区间 \([L, R]\) 以及二分的 \(W\)，我们要能够快速的计算出最多选的数的个数。也就是说，我们要快速计算这段区间中，相邻两个 \(1\) 中最小值能插入的相邻对个数。

反过来，我们考虑一个二元组 \((i, j)\) 对于所有 \(1 \leq W \leq 2V\) 的贡献。也就是说，哪些 \(W\) 满足 \((i, j)\) 是相邻的两个 \(1\)，且中间的最小值能插入。

从小到大枚举 \(j\)，考虑哪些 \((i, j)\) 能造成贡献。对于一个 \((i, j)\)，要造成贡献，需要满足 \(a_{i + 1}\) 到 \(a_{j - 1}\) 的最小值大于 \(a_i\) 和 \(a_j\)。

我们处理出从小到大的单调栈，那么容易发现 \(a_i\) 必须是单调栈上的数，且 \(a_i\) 在单调栈上的下一个数要大于 \(a_j\)。很显然，这就是将 \(a_j\) 插进单调栈后被弹出的那些数，因此这样的二元组只有 \(\mathcal{O}(n)\) 个。

对于每一个二元组 \((i, j)\)，假设中间的最小值下标为 \(k\)，那么我们要看贡献的区间是什么。显然有 \(a_i + a_k \leq W, a_k + a_j \leq W\) 和 \(a_k > \dfrac{W}{2}\)，则 \(W \in [a_k + \max\{a_i, a_j\}, 2a_k)\)。这个可以使用可持久化线段树维护。

因此，询问要求 \([L, R]\) 的答案，那我们找到左右的赋值为 \(1\) 的下标 \(lx, rx\)，然后计算 \(s_{rx} - s_{lx}\) 的值，与 \(k\) 比较即可。注意由于答案是环，需要特殊考虑首尾相接的情况，因此还需要一个 ST 表。

KEL9762 6

可持久化线段树 线段树优化建图 最短路

考虑对于每一行网格，把网格上的格子划分成没有障碍物的极长段。对于每一列同理。

如果一行和一列有交点，那就连一条边。我们根据这个图跑一边最短路。

然后考虑 \((i, j)\) 这一个点，它一定被一个行连续段和一个列连续段包含，而且显然这两个连续段的最短路之差小于等于 \(1\)。

先考虑如何建图，我们从上往下扫每一行，线段树存储目前每一个位置所在的列连续段编号。然后，显然一个行连续段与一段列连续段区间有连边，因此使用可持久化线段树优化建图即可。

对于统计答案，我们只需要计算行最短路和列最短路不同的格点数即可。考虑从上往下扫行，维护若干个 set，\(s_i\) 存储列最短路为 \(i\) 的格点，然后对于一个行连续段，找到在这个区间中与该行最短路相等的格点个数即可。

KEL9317 5

容斥 树上 DP 线段树合并

考虑容斥，设两端相等的边的集合为 \(S\)，那就是这种情况的方案数，带一个 \((-1)^{|S|}\) 的系数。

首先我们显然可以把已经固定的数 \(a_i\) 的范围压到 \([1, n]\)。

然后考虑 DP，设 \(f_{i, j}\) 表示以 \(i\) 为子树，当前 \(i\) 所在的连通块颜色为 \(j\)。（如果该连通块全是 \(a_i = 0\)，那 \(j\) 为 \(0\)）

转移就是考虑新加入的子树 \(v\) 向 \(u\) 的边是否两端颜色相同，如果相同，就连通块合并，否则乘上 \(v\) 连通块的情况数。

考虑优化，由于这个 DP 转移不是特别复杂（基本没有同时涉及到 \(x, y\) 的转移方程），因此考虑线段树合并来优化即可。

KEL1287 / P12503 5

二分 三分 函数最值

咕了

KEL9516 3

动态规划 二分 线段树 单调栈

设 \(f_{i, j}\) 表示前 \(i\) 个文件夹，当前只需要 \(j\) 行，最小的宽度，转移就是枚举新的一列用了 \([i + 1, k]\) 的文件夹，复杂度 \(\mathcal{O}(n ^ 3)\)。

考虑优化，我们可以二分最多需要多少行，这样定义 \(f_i\) 表示前 \(i\) 的文件夹使用 \(mid\) 行的最小宽度，复杂度就是 \(\mathcal{O}(n ^ 2 \log n)\)。

观察转移式子 \(f_i = \min\limits_{i - mid \leq j < i} \{f_j + \max\limits_{j + 1 \leq k \leq i}\{a_k\} + 1\}\)。

考虑线段树优化，维护一个单调栈，然后使用线段树维护 \(f\) 的值即可。

KEL9695 7

线性基 高斯消元 动态规划

考虑这是一个线性空间，因此考虑对最简线性基进行计数。

考虑限制，如果第 \(x\) 小的数是 \(y\)，我们把线性基上的数按照主元大小排序，那么就相当于一个子集异或要等于 \(y\)。

我们从小到大考虑每一位，设 \(f_{i, j}\) 表示第 \(i\) 位，当前线性基里有 \(j\) 个数。两种情况：

• 第 \(i + 1\) 位是主元，我们新加一个数，这个数的第 \(i + 1\) 位是 \(1\)，\(1\) 到 \(i\) 位都是 \(0\)。如果限制子集包含第 \(i + 1\) 个数，那么这个异或和第 \(i + 1\) 位为 \(1\)，否则为 \(0\)。

• 第 \(i + 1\) 位是自由元，那对于这一位，当前已经在线性基里的数随便选，其他数都是 \(0\)，且一些子集异或有要求，高斯消元求解的个数即可。

高斯消元可以用 bitset 优化，可以做到 \(\mathcal{O}(\dfrac{n ^ 4 m}{\omega})\)。

QOJ2214 5

分治 强连通分量

我们将边按照出现时间从前往后考虑，然后分治。

设 \(\operatorname{solve}(l, r, V, E)\) 表示当前考虑 \(l\) 到 \(r\) 时间出现的边，当前考虑的点集是 \(V\)，当前考虑的边集为 \(E\)。

假设 \(p = \lfloor \dfrac{l + r}{2} \rfloor\)，考虑将 \(E_{[1, p]}\) 缩点，然后对于一条边：

• 如果它被缩掉了，那么没必要加入 \(E_r\)，直接加入 \(E_l\) 即可。

• 如果它没被缩掉，那么没必要加入 \(E_l\)，直接加入 \(E_r\) 即可。

这样可以保证每层的边数之和为 \(\mathcal{O}(m)\)，及时删除孤立点保证点数之和和 \(m\) 同阶即可。

KEL9539 小Z的树 7

Prufer 序列 组合数学

问题 1 3

考虑以下的东西：

• 一个置换环之间连边
• 两个置换环之间连边

问题 2 5

如果只有大小为 $2$ 的置换环怎么做。

问题 3 6

对于 $n$ 个点，我们先指定 $k$ 个点，然后要将这 $n$ 个点划分为 $k$ 个连通块，使得指定的 $k$ 个点在不同的连通块中。

提示：Prufer 序列

问题 4 4

大小为 $1$ 的置换环和大小为 $2$ 的置换环并存呢？

问题 5 4

假设大小为 $k$ 的置换环有 $c_k$ 个，答案是多少。

P9488 ZHY 的生成树 4

Kruskal 线性筛

问题 1 1

模拟 Kruskal 的过程。

问题 2 4

我们是否要枚举 $x$ 的所有倍数？

QOJ4881 Hard Problem 7

单调栈 笛卡尔树 暴力

假设原问题的两个区间分别是 \([l, l + c - 1]\) 和 \([l + c, l + 2c - 1]\)，那我们设 \(m = l + c - 1\)。

我们枚举 \([l, l + c - 1]\) 区间内的最后一个最大值下标 \(x\)，我们假设 \([l + c, l + 2c - 1]\) 区间内的第一个最大值下标为 \(y\)。不妨假设 \(a_x \leq a_y\)。（大于的情况可以翻转数组然后做）

考虑 \(m\) 的范围，会有如下条件：

• \(A < m - c - 1\)（其中 \(A\) 是 \(x\) 左边最后一个 \(a_{A} > a_x\) 的下标 \(A\)）

• \(m - c + 1 \leq x \leq m\)

• \(m < B \leq m + c\)（其中 \(B\) 是 \(x\) 右边第一个 \(a_{B} \geq a_x\) 的下标 \(B\)）

• \(m + c < C\)（其中 \(C\) 是 \(x\) 右边第一个 \(a_{C} > a_x + k\) 的下标 \(C\)）

整理得到 \(\max(A + c, x, B - c) \leq m < \min(x + c, B, C - c)\)。

如果 \(c\) 可以是任意数的话，那么 \(m\) 必在的范围是 \(\max(x, \dfrac{A + B}{2}) \leq m < \min(B, \dfrac{x + C}{2})\)。

尝试暴力枚举 \(m\)，那么满足以上限制的 \(c\) 是 \(\max(B - m, m - x + 1) \leq c \leq \min(m - A, C - m - 1)\)。可以证明这样的复杂度是对的。