[AGC066C] Delete AAB or BAA

\(\mathbf{Part.-1}\)

给定一个由字符 A 和 B 组成的字符串 \(S\) 。

在这根绳子上，您可以反复执行以下操作：

在字符串 \(S\) 中选择三个连续且相等的字符，这些字符要么是 AAB 要么是 BAA，然后将这三个字符从 \(S\) 中删除（删除后，剩余的字符会连接在一起）。

找出能执行此操作的最大次数。

给出 \(T\) 个测试用例；请分别求解。

\(\mathbf{Part. 0}\)

初始对题目结构的观察是重要的。

这题有两个显然的方向：

• 考虑 A 和 B 的连通块
• 考虑操作区间的性质

对于第一种，它很可做，但是就是做不出来。

对于第二种，我们称一个操作 AAB 和 BAA 的操作区间 \([i, j]\) 为这三个字符在原字符串上最左边到最右边的区间。¹

由于删除的三个字符是连续的，所以操作区间一定不会相交。因此，操作区间是嵌套的⁴。所以操作序列构成笛卡尔树的形式。

\(\mathbf{Part. 1}\)

我们先从简单的情况入手，考虑如何判断整个序列都能被消除。

首先，以 A，B 个数为观察对象。容易发现，B 的个数一定要等于 \(\dfrac{n}{3}\)。²

继续从简单的情况入手，由 \((1)\)，考虑观察一个操作区间。对于一个操作区间 \([i, j]\)，首先它一定要满足 \((2)\)。然后，我们发现最后一步的消除 \((i, x, j)\) 一定是以 \(i\) 开头，\(j\) 结尾的。又因为只有 AAB 和 BAA 的三个数可以消除，所以 \(x\) 一定为 A，\(i, j\) 一定分别为 AB 或 BA。³

考虑回到整个序列。我们现在知道了操作区间有性质，再考虑整个序列，我们容易发现它能被分成若干个操作区间。

因此，我们有两个必要条件：

• 由 \((2)\)，B 的个数一定要等于 \(\dfrac{n}{3}\)。
• 把整个序列划分成若干个区间，对于每一个区间，我们都要满足：
  • 由 \((2)\)，B 的个数一定要等于 \(\dfrac{len}{3}\)。
  • 由 \((3)\)，开头和结尾一定有一个 A 一个 B。

\(\mathbf{Part. 2}\)

发现这个形式很归纳啊！而且如果这两个性质就是充分的话，就很舒服了。

我们可以尝试构造这样的不满足的情况，但你发现构造不出来。那能不能证？

事实上是可以的。由 \((4)\)，操作区间实际上是嵌套的，每个操作区间都可以被分成多个小的操作区间。因此考虑归纳。

• 长度为 \(3\) 时，结论显然。
• 当长度为 \(len\) 时，我们容易发现存在长度 \(\geq 2\) 的 A 连续段。由于总共 B 的个数 \(\geq 2\)，显然可以找到连续段的一段删除 AAB 或 BAA 后仍保证开头和结尾为 A 和 B。

因此，我们成功知道了一个序列全部消除的充要条件。

于是，接下来靠题感都能做了。我们直接考虑 \(f_x\) 表示前 \(x\) 个字符，最少留下几个。转移是枚举 \(1 \leq j < x\)，然后判断 \([j + 1, x - 1]\) 能否全部消除。这是朴素的。

\(\mathbf{Part. +\infin}\)

以下是我自己的思考。显然，拿到一道题的第一感觉对于结论题来说十分重要。

这道题操作的结构是什么？对于每个连通块，操作一定发生在连通块的边界处。这是对的，也可以继续往下做，但是够深刻吗？

我们发现，如果一个连通块消失了，两边的连通块会合并，这不好刻画。

更加深刻的理解是：对于每一个操作，它组成的 \([l, r]\) 一定是嵌套的，呈现笛卡尔树的形式。

这个理解完全包含了连通块的理解，而且更加可做。这也不是特别难想，但是为什么我们想不到？或者说，为什么我们不会往这个方向想。

事实上，一道题的正确做法是线性的，是一条链，但是可能的所有解法构成一颗树。然而，我们的思维也是线性的，而且我们会讨厌推翻前面的一切做法，重新再来。

这是我们要跳脱出来的点。