tricks

• 对于一些操作类的计数问题，可以考虑操作到无法操作之后对不满足条件的剩余情况进行计数。

• 遇到不会的计数或不会优化的 dp，可以考虑容斥。

• 容斥复杂度太高时，可以考虑将情况划分为等价类。

• 对于树的 constructive，考虑从叶子开始。

• \(\dbinom{n}{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}\)。

• 树上高斯消元 \(\mathcal{O}(n)\) 做法。

• 优化 dp 时，可以考虑真正有用的限制是什么，对于用处不大的内容，可以考虑压掉（如 CF1750F）。

• 可以考虑使用连边刻画构造的限制。

• 对于难以优化的 dp，若贡献关于二进制每一位独立，可以考虑将二进位制拆成两部分，进行 meet in the middle 式的转移，将复杂度中 \(V\) 变为 \(\sqrt V\)。

• 对于难以入手的神秘题，大多具有良好性质。在无法发现性质时，可以通过增加约束条件或寻找必要条件或打表等方式猜结论。

• 对于询问出现偶数次的元素，考虑随机赋权维护异或和。

• 对于排列求逆的操作，可以考虑将 \((i, p_i)\) 视作二元组，求逆即为 \(\operatorname{swap}(i, p_i)\)。

• 颜色段均摊。

• 扫描线维护矩形面积并：对于 SGT 每一个节点维护 \(cover_i\) 表示完整覆盖该节点对应区间的区间个数，\(cover\) 不下传，若 \(cover_i > 0\) 则贡献为 \(r - l + 1\)，否则需要 push_up。

• 对求第 \(k\) 大的题，若是多个序列并起来的第 \(k\) 大，且满足某种单调性，可以考虑二分答案 + 双指针。

• 区间数颜色：维护 \(lst\)。

• 数论很神奇。

• 不要忘记差分约束。

• 最大流最小割定理。

• 从值域考虑，将 \(> v\) 的数视为 \(1\)，\(\le v\) 的数视为 \(0\)。

• 对于强制在线且修改需要重构的题（如维护 AC 自动机），可以考虑二进制分组，维护大小为 \(2 ^ k, 2 ^ {k - 1}, \cdots, 1\) 的数据结构，合并组的时候暴力重构。

• 对于将字符串相等定义为 \(\exist\) 双射 \(f: \{a, b, \cdots, z\} \to \{a, b, \cdots, z\}\) 满足 \(f(s_i) = t_i\) 的题，考虑使用 \(lst\) 进行判断。

• 对于查区间 \([l, r]\) 的题，先考虑 \(l = 1, r = n\)。

• 对于灵活度很大的题，要敢于猜答案不会太大。

• 考虑 DP。

• Hall 定理推论：\(|S| - \max\limits_{T \subseteq S} (|T| - |N(T)|)\)。

• 李超线段树（合并）。

• KTT。

• 单侧递归。

• 换维扫描线。

• 对于一个公平组合游戏，操作加上一个直接结束，SG 值变为原来的 SG 值 \(+1\)。