随便写点

Day 1

P2860

结论一：边双内无需加点。缩点。
结论二：操作数喂 \(\lceil \frac{t}{2} \rceil\)。\(t\) 为叶子数。

• 构造：连最远的点。本质上是令连边后不产生新的叶子。

Edges in MST（cycle lemma 和 cut lemma）

考虑一条边 \(e\)。考虑 \(< w_e\) 的边。
将图分成若干个连通块。以下分情况讨论：

• 在块内。一定不会被选（cycle lemma）
• 考虑缩点。
  • 桥必然会选择。
  • 不一定会被选择。（无所谓）

Day 2

CF1823F Random Walk （树上高斯消元）\(\texttt{-- by Albert_Wei}\)

首先，高斯消元显然可以做到 \(\mathcal{O}(n ^ 3)\)，但这个做法在一般图中都适用，没有用到树的性质。
我们设 \(dp_i\) 表示点 \(i\) 的期望经过次数，所以显然 \(dp_t = 1\)。
将 \(t\) 设为根，考虑一个神奇的想法，将 \(dp_i\) 表示为 \(A_i \times dp_{pr_i} + B_i\)，在 \(pr_i \neq t\) 时，

\[dp_u = \sum_{v \in to_u \and v \neq t} \dfrac{dp_v}{deg_v} + [u = s] \]

\[\Rightarrow dp_u = \sum_{v \in ch_u} \dfrac{A_v \times dp_u + B_v}{deg_v} + [u = s] + \dfrac{dp_{pr_u}}{deg_{pr_u}} \]

\[\Rightarrow dp_u \times (1 - \sum_{v \in ch_u} \dfrac{A_v}{deg_v}) = \dfrac{dp_{pr_u}}{deg_{pr_u}} + ([u = s] + \sum_{v \in ch_u} \dfrac{B_v}{deg_v}) \]

\[\Rightarrow A_i = \dfrac{1}{deg_{pr_u} \times (1 - \sum_{v \in ch_u} \frac{A_v}{deg_v})}, B_i = \dfrac{[u = s] + \sum_{v \in ch_u} \frac{B_v}{deg_v}}{1 - \sum_{v \in ch_u} \frac{A_v}{deg_v}} \]

直接从上往下 dp 即可求出 \(A_i, B_i\)。\(pr_i = t\) 时，\(A_i = 0\)，\(B_i\) 同上。
求出 \(A_i, B_i\) 后，再从上往下 dp 求出 \(dp_i\) 即可。复杂度 \(\mathcal{O}(n \log P)\)。

Day 3

BigO

首先考虑最简单的环：\(\mathcal{O}(1)\)。
考虑非环的强连通，容易发现一定为指数级。具体证明是考虑一定存在双环结构。
缩点，然后计算最长链即可。