堆
堆
堆是一种树形结构，树的根是堆顶，堆顶始终保持为所有元素中优先级最高的元素，如小根堆与大根堆，小根堆的堆顶始终为最小的元素，大根堆的堆顶始终保持为最大的元素。堆一般用二叉树实现，称为二叉堆。二叉堆的典型应用有堆排序和优先队列。
本片将包括：
（1.二叉堆的概念
二叉堆是一棵完全二叉树。用数组实现的二叉树堆，树中每个节点与数组存放的元素对应。如图所示，用数组实现一棵二叉堆。
二叉堆中的每个节点，都是以它为父节点的子树的最小值。
用数组存储完全二叉树，节点数量为 \(n\) ， \(a[1]\) 为根，通过上图不难发现如下性质：
(1) 对于所有 \(i>1\) 的节点，其父节点为 \(i/2\) ;
(2) 若 \(2i>n\) ,则 \(i\) 节点无子节点；若 \(2i+1>n\) 则 \(i\) 无右节点；
(3) 若 \(i\) 节点有子节点，则左子节点在 \(2i\) ，右子节点在 \(2i+1\) ;
（2.二叉堆的操作
堆的操作有两种：上浮与下沉；
1.上浮
某个节点的优先级上升，或在堆底新加入一个元素(建堆，把新元素加入堆)，此时需要从上到下恢复堆的顺序。
如下图：
code：
void push(int x){
heap[len++]=x;
int i=len;
while(i>1&&heap[i]<heap[i/2]){
swap(heap[i],heap[i/2]);
i=i/2;
}
}
2.下沉
某个节点的优先级下降，或将根节点替换为为一个优先级更高的元素（弹出堆顶），此时需要从上到下维护堆的顺序。
如下图：
code：
void pop(){
heap[1]=heap[len--];
int i=1;
while(2*i<n){
int son=2*n;
if(son<len&&heap[son+1]<heap[son])
son++;
if(heap[son]<heap[i]){
swap(heap[son],heap[i]);
i=son;
}
else
break;
}
}
3.查询堆顶
根据上述内容可知， \(heap[1]\) 即为堆顶
int top(){
return heap[1];
}
4.查询大小
即判断 \(len\) 是否为0。
int size(){
return len;
}
5.判断是否为空
bool empty(){
if(len==0) return true;
return false;
}
（3.堆与priority_queue
STL中的优先队列（priority_queue）是用堆实现的。
1.初始化
在STL中优先队列的初始化：
priority_queue<int> //默认为大根堆
priority_queue<int,vector<int>,less<int> >s1; //大顶堆
//vector是存放的容器，less为优先级
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >s2; //小顶堆
2.操作
| 操作 | 作用 |
|---|---|
| \(qu.push(x)\) | 将元素 \(x\) 加入优先队列 |
| \(qu.pop()\) | 弹出队首 |
| \(qu.top()\) | 返回队首元素（不弹出） |
| \(qu.size()\) | 返回队列长度 |
| \(qu.empty()\) | 队列是否为空 |
（3.例题
- P3378 【模板】堆（模版题，没什么好说的）
- P1090 合并果子（比起用数组，堆更加简单）
- P1631 序列合并
