ksing外培记录

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• Day 1

Day 1

1. \(\lim\limits_{n\to\infty} n\int_{0}^{1}\frac{e^x}{1+n^2x^2+n^3x^4}dx\)

分段估计，只有趋近0的部分对答案产生影响。分段点应该保证级数大于\(\frac{1}{n}\)。
\(\lim_{n\to\infty} n\int_{0}^{1}\frac{e^x}{1+n^2x^2+n^3x^4}dx = \lim_{n\to\infty} n\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{n}}}\frac{e^x}{1+n^2x^2+n^3x^4}dx + \lim_{n\to\infty} n\int_{\frac{1}{\sqrt{n}}}^{1}\frac{e^x}{1+n^2x^2+n^3x^4}dx\)

当\(x\not\to0\)时没有无穷小与\(n\)中和，故极限必为0。
\(0\leqslant\lim_{n\to\infty} n\int_{\frac{1}{\sqrt{n}}}^{1}\frac{e^x}{1+n^2x^2+n^3x^4}dx\leqslant\lim\limits_{n\to\infty}n\int_{\frac{1}{\sqrt n}}^{1}\frac{e}{n^3x^4}dx=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{e}{n^2}\int_{\frac{1}{\sqrt n}}^1\frac{1}{x^4}dx=0\)

左半部分通过换元中和\(x\)与\(n\)，可以使得第一积分中值定理的部分为1。
\(\lim_{n\to\infty} n\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{n}}}\frac{e^x}{1+n^2x^2+n^3x^4}dx \stackrel{t=n\cdot x}{=} \lim_{n\to\infty} \int_{0}^{\sqrt{n}}\frac{e^{\frac{t}{n}}}{1+t^2+\frac{t^4}{n}}dt \quad \stackrel{\text{积分中值定理}}{=}\)
\(e^{\frac{\xi}{n}}\int_{0}^{\sqrt{n}}\frac{1}{1+t^2+\frac{t^4}{n}}dt,\quad \xi\in[0,\sqrt{n}]\)

由于控制收敛定理，这里积分和极限可以交换。为了规避超纲知识，选择构造无穷小和常规积分的方式。
\(e^{\frac{\xi}{n}}\int_{0}^{\sqrt{n}}\left[ \frac{1}{1+t^2+\frac{t^4}{n}}-\frac{1}{1+t^2}+\frac{1}{1+t^2} \right]dt = e^{\frac{\xi}{n}}\left[ \int_{0}^{\sqrt{n}}\frac{-\frac{t^4}{n}}{(1+t^2+\frac{t^4}{n})(1+t^2)}dt + \int_{0}^{\sqrt{n}}\frac{1}{1+t^2}dt \right]\)
可以证明，前面的部分极限为0，后面的极限为\(\frac{\pi}{2}\)。故原极限答案为\(\frac{\pi}{2}\)。