P2014 [CTSC1997] 选课（树上背包模板题）题解

本蒟蒻最近写了一道树上背包模板题的题，对奆佬们来说简单，对本蒟蒻有~~亿点点吃力~~。详情请[戳此(https://www.luogu.com.cn/problem/P2014)]
具体内容如下：
题目描述
在大学里每个学生，为了达到一定的学分，必须从很多课程里选择一些课程来学习，在课程里有些课程必须在某些课程之前学习，如高等数学总是在其它课程之前学习。现在有 N 门功课，每门课有个学分，每门课有一门或没有直接先修课（若课程 a 是课程 b 的先修课即只有学完了课程 a，才能学习课程 b）。一个学生要从这些课程里选择 MM 门课程学习，问他能获得的最大学分是多少？

输入格式
第一行有两个整数 N , M用空格隔开。( 1 ≤ N ≤ 300 , 1 ≤ M ≤ 300 )

接下来的 N 行,第 I+1 行包含两个整数 ki 和 si，ki 表示第 I 门课的直接先修课，si 表示第 I 门课的学分。若 ki=0 表示没有直接先修课（1 ≤ ki ≤ N , 1 ≤ si ≤ 20）。

输出格式
只有一行，选 M 门课程的最大得分。

输入输出样例

Sample In

Sample Out

一看到题目，我们就可以发现，这道题我们可以建立一棵树来存储 ki 与 i 的关系， ki 为节点 i 的父节点，利用树形 dp 求解。
我们可以建立一个 f[i][j] 的滚动数组，表示以 i 为根的节点选了 j 门课程取得的最大学分数。
这个状态我们可以转移到其他子树上，那么问题来了，状态转移方程怎么推？
由题可知，我们要想选择第i门课，就一定要选择它的爸爸，假使选择它的爸爸，那么我们可以不选第i门课，所以
f[i][j]=max( f[i][j] , f[i][j-k]+f[y][k])
注：f[y][k]表示在以i的儿子y为根的子树中选择k门课程，f[i][j-k]即为在以i为根的子树中选择剩余的j-k门课程，这比较类似于分组背包，只不过是在树上操作罢了。
首先要写一个dp部分的代码,如果不知如何写的小盆友可以理解一下

void dp(int x){
	f[x][0]=0;//表示在以x为根的子树中 选择0门课程所得到的最大学分 
	for(int i=0;i<son[x].size();i++){//枚举每一个儿子 
		int y=son[x][i];
		dp(y);
		for(int j=m;j>=0;j--) //枚举背包体积 
			for(int k=j;k>=0;k--)
	//为何从j开始枚举？因为当x=0时是一个虚拟节点，需要选的就是j门课 
				f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k]+f[y][k]);
	//在以x为根的子树中选择j门课程取得的最大学分
	//就是在自身（即只选择自己而不选择自己的儿子）和在以自己为根的子树中选择j-k门课
	//以及在自己的儿子中选择k门课，取一个学分较大的 
	}
	if ( x!=0 ) //当前节点不为虚拟节点，进行状态转移，
	//就等于选择了前j-1门课程后，再加上自己的学分，
	//从而保证x这个节点一定要选取，因为它是先修课 
		for(int i=m;i>0;i--) 
			f[x][i]=f[x][i-1]+sc[x];
}

注：我们给没爸爸的节点（即没有直接选修课的节点）的爸爸赋为0。
疑问1：背包枚举时为何要倒着循环？
答：保证同一个物品最多只能选一次。
疑问2：树上背包时间复杂度？
答：树上背包时间复杂度可以优化成O(nm),（注：n为节点数，m为体积的值域，即取
值范围），具体的优化方法请见此，本蒟蒻实力有限qwq，请各位小盆友参考奆佬
的文章。[戳这(https://www.cnblogs.com/ouuan/p/BackpackOnTree.html)]
疑问3：为何不直接用二维数组存储状态？
答：此处用滚动数组存储状态，是因为使用二维数组会出现MLE，使用滚动数组vector可以避免这种情况。
最后附上AC代码，供参考

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=330,M=330;
int n,m,f[N][M],sc[N];
vector <int> son[N];
void dp(int x){
	f[x][0]=0;
	for(int i=0;i<son[x].size();i++){
		int y=son[x][i];
		dp(y);
		for(int j=m;j>=0;j--)
			for(int k=j;k>=0;k--)
				f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k]+f[y][k]);
	}
	if ( x!=0 ) 
		for(int i=m;i>0;i--) 
			f[x][i]=f[x][i-1]+sc[x];
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int fa;
		scanf("%d%d",&fa,&sc[i]);
                //fa是第i门课的直接选修课，
		//是i的爸爸，sc[i]表示选修第i门课取得的学分 
		son[fa].push_back(i);//即输入son[x].size的长度查询
	}
	memset(f,0xcf,sizeof(f));
	dp(0);
        //x=0(代表从根节点的爸爸（设一个虚拟节点）开始搜) 
	printf("%d\n",f[0][m]);
	return 0;
}

这是本蒟蒻第一次写博客，如果有写的不好的地方求各位奆佬指正，本蒟蒻感激不已！！！
最后希望各位能理解基础的树上背包，做题常AC！！！

posted @ 2020-07-28 21:37 zzk-zzk 阅读(126) 评论(2) 收藏举报

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