题解 UVA10976 【分数拆分 Fractions Again?!】

实际发表时间：2020-04-13
https://www.luogu.com.cn/problem/UVA10976

先来康康柿子

前面的题解都是逆向推的，我就来正向推

\[\dfrac{1}{k}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \]

\[\text{通分一下} \]

\[\dfrac{1}{k}=\dfrac{x+y}{xy} \]

\[\text{去分母} \]

\[\dfrac{1}{k}\times kxy=\dfrac{x+y}{xy}\times kxy \]

\[xy=k(x+y) \]

\[\text{去括号,挪一下} \]

\[xy-kx-ky=0 \]

\[\text{两边加一个神奇的东西}k^2 \]

\[xy-kx-ky+k^2=k^2 \]

\[\text{然后就可以十字相乘来分解} \]

\[(x-k)(y-k)=k^2 \]

于是暴力枚举\(k^2\)的因数\((x-k)\)和\((y-k)\)即可
要输出个数，我们可以把结果写成结构体，存进队列\(q\)，个数就是\(q.size()\)
复杂度\(\mathcal{O}(\sqrt{k^2})=\mathcal{O}(k)\)，可以过

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct ans
{
	int x,y;
};//储存结果
queue<ans>q;//队列
int k;

int main()
{
	while(~scanf("%d",&k))
	{
		int res=k*k;
  		//暴力枚举k²的因数
		for(int i=1;i<=k;i++)if(res%i==0)q.push((ans){res/i,i});
		printf("%d\n",q.size());//输出个数
		while(!q.empty())printf("1/%d = 1/%d + 1/%d\n",k,k+q.front().x,k+q.front().y),q.pop();//输出结果
	}
	return 0;
}