题解 CF75C 【Modified GCD】

实际发表时间：2020-04-27
https://www.luogu.com.cn/problem/CF75C
没有用\(upper\,\_\,bound\)的题解？
那我来一篇吧~

思路：预处理公约数，再二分查找

预处理公约数:

我们知道，\(a,b\)任何一个公约数都能整除\(\gcd(a,b)\)，那么，怎么证明呢？

证明：

分解质因数，\(a=p_1\times p_2\times \cdots \times p_x,b=q_1\times q_2\times\cdots\times q_y\)
根据公约数的定义,\(a,b\)的任意公约数\(x\)一定是集合\(p,q\)的相同元素集合\(r\)中的乘积组合\(r_{i_1}\times r_{i_2}\times\cdots\times r_{i_k}\).
那么\(\gcd(a,b)=r_1\times r_2\times\cdots\times r_z\),即\(r\)的所有元素之积。则\(x=r_{i_1}\times r_{i_2}\times\cdots\times r_{i_k}\)一定被包含在\(\gcd(a,b)=r_1\times r_2\times\cdots\times r_z\)之中。
即\(a,b\)任意公约数\(x | \gcd(a,b)\),证毕。

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很好，那么我们只枚举\(\gcd(a,b)\)的因数即可。
我们从\(1\)枚举到\(\left\lfloor \sqrt{\gcd(a,b)} \right\rfloor\),把\(i\)和\(\dfrac{\gcd(a,b)}{i}\;push\,\_\,back\)进一个\(vector\)即可。

二分查找

先把\(vector:v\)排序,方便查找.
每次输入\(x,y\)时,设\(pos=upper\,\_\,bound(v.begin(),v.end(),y)-v.begin()\).
因为\(upper\_bound(v.begin(),v.end(),y)\)的返回值为\(v\)中第一个大于\(y\)的数的地址，若没找到返回\(v.end()\)，复杂度\(\mathcal{O}(log\,_2n)\).
则按理来说\(v_{pos-1}\)就是要找的数
那么，就有两种情况：

1. \(v_{pos-1}<x\),则它小于\(x\)，输出\(-1\)
2. 找到了，输出\(v_{pos-1}\)

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代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a,b,x,y,g;
vector<int>v;

int main()
{
	scanf("%d%d",&a,&b);
	g=__gcd(a,b);//求gcd(a,b)
	for(int i=1;i*i<=g;i++)if(g%i==0)v.push_back(i),v.push_back(g/i);//找公约数
	scanf("%d",&a);
	sort(v.begin(),v.end());//排序
	while(~scanf("%d%d",&x,&y))
	{
		int pos=upper_bound(v.begin(),v.end(),y)-v.begin();//二分查找
		if(v[pos-1]<x)puts("-1");//没找到
		else printf("%d\n",v[pos-1]);//找到了
	}
	return 0;
}