【数学分析】第一章笔记

集合与映射

集合

集合是什么

是个方便后续研究和讨论的工具，我们先拿出来说说，有个感觉，后面讨论的时候觉得不对了，就可以一路找到最初这些定义。

当然，一般没人这么较真，除了数学家。

我们规定：

• 集合元素在集合中
• 集合元素是无序的，对于俩集合判等问题，重复出现或者在不同位置出现，并不影响这俩集合表示的意义一致

集合之上

集合之上咱们定义了一些运算，交并补，大家都很熟悉了。

然后算着算着总结出：交并补具有交换律结合律和分配律，照我的理解，这三律能用\(Venn\)图导出。

还总结出个个对偶律，又叫德摩根律，是关于补集（一个集合\(A\)关于\(C\)的补集写作\(A^{C}\)）的，按计算机的思维，把补集解释成“求反”，用口诀记忆起来就很方便了：并之反等于反之交，交之反等于反之并。

这里给出原形式，可以对照对照口诀和\(Venn\)图理解：

\((A∪B)^{C}=A^{C}∩B^{C}以及(A∩B)^{C}=A^{C}∪B^{C}\)

有限集和无限集

字面意思，不过无限集还有个小细项，叫可列集，意思是能用某个规律把集合元素排成一个序列，想把一个无限集证明成可列集，关键在于给它设计一种排列的规则，让集合元素按照这种排列规则能不重不漏排成一列。这个挺有意思的，给集合以【序】。

\(Descartes\)乘积集合

\(A\)和\(B\)是两个集合，\(A\)中任取一个\(x\)，\(B\)中任取一个\(y\)，组成有序对\((x,y)\)。

显然这和组合数学有关系，分步乘法的感觉。

搞起实数来，实数数对可以和二维平面一一对应，这是平面解析几何的理论基础。

高维情况比如\(R^{3}\)，都是可以的，扩展起来很方便。

映射与函数

映射

我们接着规定，映射是两个集合之间的一种对应关系，学计算机的可能喜欢用哈希一类的词描述这种感觉。

记为\(f: X \to Y,x \mapsto y=f(x)\)

一元实函数

一元实函数是指从一个实数集合 $ X \subseteq \mathbb{R} $映射到实数集合 $Y = \mathbb{R} $ 的函数。

形式化定义为： $ f: X \to \mathbb{R} , x \mapsto f(x) \(，当然，我们更熟悉的是\)y=f(x)$

初等函数

• 常数
• 幂
• 指
• 对
• 三角
• 反三角
• 由以上六种函数经过有限次四则运算与复合运算所产生的函数

函数的分段表示、隐式表示、参数表示

就是几个名字，在不好写成\(y=f(x)\)的时候用这几个方法表示

分段表示就是分定义域讨论

隐式表示就是搞成方程的样子

参数表示就是拿第三个变量，可能是\(t\)什么的来表示\(x\)和\(y\)

函数的简单特性

• 有界性：函数不会大于或者小于某个界限值。
• 单调性：函数会朝着上面或者下面走不会掉头。
• 奇偶性：函数关于原点中心对称叫奇函数，关于\(y\)轴对称叫偶函数。
• 周期性：函数重复某一段的值

两个常用不等式

三角不等式：原理是三角形两边之和大于第三边，所以叫这个名，不过代数化之后，呈现为一个绝对值的不等式

基本不等式：\(AM-GM\)不等式，口诀是”调几算方“那个，然后还能扩展至\(n\)阶的情况，有空更一下《不等式的秘密》那本书的笔记吧，那本很不错

习题

高中数学不错的话，这节不难，不找题了，没必要