CSP19届

第1题 线性分类器

 题干大意：在一个直角坐标平面中，有两种“点”：A 和 B，A、B点都有多个。现在给定一个直线方程，判断所有的A和所有的B点是否被这条直线分隔开了。如果是，输出Yes,否则输出No。

 

为了更好理解题意，我画了下面的坐标图

如下图，假定（0，3）、（0，1）属于A类点，(1，0)、（2，1）、（3，0）属于B类点。图中还有三条直线，一条是x+y-2=0，一条是x-y=0，一条是x+y-4=0。

 

 

 

分析1：
看得出，x-y=0这条直线把A类点：(0，3)、(0,1)分隔在线的一边，把B类点(1，0)、（2，1）、（3，0）分隔在线的另一边。

而x+y-2=0 这条线却没有成功分隔，因为在A类的点中，（0，3）在x+y-2的上方，（0，1）在x+y-2的下方。在B类点中，（1，0）在x+y-2=0的下方，(2，1)、（3，0）在B类点的下方。

x+y-4=0这条线也没有成功分隔，因为A类点(0，3)、(0，1)在 x+y -4 =0 的下方，B类点(1，0)、(2，1)、(3，0)也在 x+y-4=0的下方。A类点和B类点是同侧了，这不符合题意要求：A类的点和B类的点被直线分隔

分析2：

看是看得出来，可是怎么用数学表示呢？也就是怎么通过数学计算就知道点在直线的哪一侧？答案是可以把点代入直线方程，判断计算结果是大于0还是小于0 就可以知道点在直线哪一侧了。

一般直线方程如下

 f(x,y) = a + bx +cy

　点（x0,y0）代入  f(x,y) = a + bx +cy 得  a + bx0 + cy0 。这个式子的计算结果的符号有三种可能。
正数：f(x0,y0) = a + bx0 + cy0 > 0 

0：f(x0,y0) = a + bx0 + cy0 = 0

负数：f(x0,y0) = a + bx0 + cy0 < 0

 对于一个具体的点，代入f(x,y) 只有一种可能，要么是正，要么负，要么等于0。注意，等于0表示点在直线上。

到此，已经知道怎么通过数学公式计算来判断一个点在直线哪一侧。

 

算法的思路：

把A类的点一个一个代入直线方程，如果A类的点都是在直线的一侧，它们计算结果的符号一定是相同的。如果有一个A类的点代入直线方程，它计算结果的符号与前面算的符号不同，就知道，这条直线没有把A类点分隔开，此时可以直接输出No，不必判断B类点是不是都在直线的另一侧。

如果遍历完A类点，计算的符号都相同，就知道A类点在直线一侧，用变量flagA 来记录A类点的符号。继续判断B类的点

用同样的方式，把B类的点一个一个代入直线方程，如果B类的点都是在直线的一侧，它们计算结果的符号一定是相同的。如果有一个B类的点代入直线方程，它计算结果的符号与前面算的符号不同，就知道，这条直线没有把B类点分隔开，此时也直接输出No。

遍历完B类点，计算的符号都相同，就知道b类点在直线一侧，用变量flagb 来记录B类点的符号。

到此，知道了A类点和B类点都在直线一侧。但是还有一个问题，A类点可能与B类同侧，因此最后要判断A类点的符号与B类点的符号必须不同，才输出Yes,否则说明A类点和B类的点是同一侧输出No。

 

计算演示：

这里采用上面的坐标图的点和直线数据来实现算法思路。

规定一下判断的直线的顺序：

(1)x+y-2=0 

(2) x-y=0 

(3) x+y-4=0

已知A类点：(0，3)、(0,1)

已知B类点：(1，0)、（2，1）、（3，0)

 (1) x+y-2=0

把(0,3)代入 x+y-2=0,得 0+3-2=1>0，标记(0，3)为1 （1表示正号，-1表示符号）

把(0,1)代入 x+y-2=0,得 0+1-2 =-1<0，标记(0，1)为-1，与前面计算的点的符号进行判断，1 ！= -1 ，所以，直接跳出判断，不用计算B类点，直接输出No

 

(2) x-y=0

对A类点

把(0,3)代入 x-y=0,得 0-3=-3<0，标记(0，3)为-1 （1表示正号，-1表示负号）

把(0,1)代入 x-y=0,得 0-1=-1<0，标记(0，1)为-1，与前面计算的点的符号进行判断，-1 == -1 ，符号相同。

A类点都判断完，都在直线的一侧，可以继续判断B类点

对B类点

把(1,0)代入x-y=0,得 1-0=1>0,  标记(1,0)为1，

把(2,1)代入x-y=0,得2-1=1>0，标记(2,1)为1，与前面的点的符号判断，1==1,符号相同，继续判断下一个点

把(3,0)代入x-y=0,得3-0=3>0，标记(3,0)为1，与前面的点的符号判断，1==1,符号相同。

B类点判断完了，都在直线的一侧，最后判断A类点和B类点是不是同侧。

-1 ！= 1,可知A B 点不同侧。输出Yes。

 

(3) x+y-4=0

对A类点

把(0,3)代入 x+y-4=0,得 0+3-4=-1<0，标记(0，3)为-1 （1表示正号，-1表示负号）

把(0,1)代入 x+y-4=0,得 0+1-4=-3<0，标记(0，1)为-1，与前面计算的点的符号进行判断，-1 == -1 ，符号相同。

A类点都判断完，都在直线的一侧，可以继续判断B类点

对B类点

把(1,0)代入x+y-4=0,得 1+0-4=-3<0,  标记(1,0)为-1，

把(2,1)代入x+y-4=0,得2+1-4=-1<0，标记(2,1)为-1，与前面的点的符号判断，-1==-1,符号相同，继续判断下一个点

把(3,0)代入x+y-4=0,得3+0-4=-1<0，标记(3,0)为-1，与前面的点的符号判断，-1==-1,符号相同。

B类点判断完了，都在直线的一侧，最后判断A类点和B类点是不是同侧。

-1 == -1,可知A B 点同侧。输出No。

 

代码实现

#include<stdio.h>
struct node {
    long long x,y;
}A[20000],B[20000];
int main(){
    int n,m;
    int x,y;
    char typ;
    long long a,b,c;
    int i,j;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    int posA=0,posB=0;
    for(i=0;i<n;i++){
        scanf("%d %d %c",&x,&y,&typ);
        if(typ == 'A'){
            A[posA].x=x;
            A[posA].y=y;
            posA++;
        }else {
            B[posB].x=x;
            B[posB].y=y;
            posB++;
        }
    }
    int flagA,flagB;
    for(i=0;i<m;i++){
        scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&c);
        if(a + A[0].x*b +A[0].y*c <0)flagA=-1;
        else flagA=1;
        for(j=1;j<posA;j++){
            if(a + A[j].x*b +A[j].y*c <0){
                if(1 + flagA !=0)break;
            }else {
                if(-1 + flagA !=0)break;
            }
        }
        if(j<posA){
            printf("No\n");
        }else {
            if(a + B[0].x*b + B[0].y*c <0)flagB=-1;
            else flagB = 1;

            if(flagA + flagB == 0){
                for(j=1;j<posB;j++){
                    if(a + B[j].x*b + B[j].y*c <0){
                        if(-1 + flagA!=0)break;
                    }else {
                        if(1 + flagA!=0)break;
                    }
                }
                if(j<posB){
                    printf("No\n");
                }else {
                    printf("Yes\n");
                }
            }else {
                printf("No\n");
            }
            
        }
    }
    return 0;
}