从$1、2、... 2^{m}$中选一些数字相加，可以得出任意$[0,2^{m + 1})$的值，且每个数字只能用一次。

证明：从\(1、2、... 2^{m}\)中选一些数字相加，可以得出任意\([0,2^{m + 1})\)的值，且每个数字只能用一次。

1.\(当\)m = 0\(时，可选集合为\)S = {1}​,需要得到的集合为X = \([0, 2)\)。

当\(x_i = 0\)时，我们可以不选任何一个集合里面的数得到。

当\(x_i = 1\)时，可以选择集合中\(s_i = 1\)的值得到

得证！

2.假设当\(m = k\)时成立，即：从可选集合\(S = \{1, 2, 4, ... 2^k\}\)，可以得到任意\([0, 2 ^ {k + 1})\)中的值，且每个数字只能用一次。

3.当\(m = k + 1\)时，需要证明从可选集合\(S = \{1, 2, 4, ... 2^k, 2 ^{k + 1}\}\)，可以得到任意\([0, 2 ^ {k + 2})\)中的值，且每个数字只能用一次。

对于区间\([0, 2^{k + 1})\)显然成立，对于区间\([2^{k + 1},2 ^{k + 2})\)来说，里面任意一个\(x_i\)都能从区间\([0, 2^{k + 1})\)加上\(2^{k + 1}\)得到。

得证！

所以：从\(1、2、... 2^{m}\)中选一些数字相加，可以得出任意\([0,2^{m + 1})\)的值，且每个数字只能用一次。成立！