猜数字游戏-牛客三模题目

话说昨天做牛客三模题目,前面的笔试部分以及前两道编程题很快做完了, 这是第三道“压轴”题目。 业界话叫防AK。搞了 一个半小时,思路乱的像毛线一样, 一看到素数就想到数论,费马小定理,容斥原理,欧拉函数,,,想到这些就冷汗各种出。交完卷看题解,看了半天,愣是没理解(好伤~~~)。

今天整理下思绪,稍微手动模拟几个样例。哦,原来是这样~~~~, 还是俗话说的好啊 —— 静心生慧

题目描述

牛牛和羊羊在玩一个有趣的猜数游戏。在这个游戏中,牛牛玩家选择一个正整数,羊羊根据已给的提示猜这个数字。第i个提示是"Y"或者"N",表示牛牛选择的数是否是i的倍数。
例如,如果提示是"YYNYY",它表示这个数使1,2,4,5的倍数,但不是3的倍数。
注意到一些提示会出现错误。例如: 提示"NYYY"是错误的,因为所有的整数都是1的倍数,所以起始元素肯定不会是"N"。此外,例如"YNNY"的提示也是错误的,因为结果不可能是4的倍数但不是2的倍数。
现在给出一个整数n,表示已给的提示的长度。请计算出长度为n的合法的提示的个数。
例如 n = 5:
合法的提示有:
YNNNN YNNNY YNYNN YNYNY YYNNN YYNNY
YYNYN YYNYY YYYNN YYYNY YYYYN YYYYY
所以输出12

输入描述:

输入包括一个整数n(1 ≤ n ≤ 10^6),表示已给提示的长度。

输出描述:

输出一个整数,表示合法的提示个数。因为答案可能会很大,所以输出对于1000000007的模

输入例子1:

5

输出例子1:

12

题目地址

思路分析

仔细分析我们可以发现一个位置是Y还是N依赖于他的倍数。
考虑若干个素数p0,p1,p2...p3,当他们的乘积那个数确定为Y,那么它们一定也是Y。
例如:
如果27是Y,那么9一定是Y,3也一定是Y,但是81可以是Y或者N。

由于每个数都可以分解为若干素数的乘积。于是我们考虑范围内的素数及其k次幂的位置的情况,其他数字都可以由这些组合而来。

例如: n = 8, 考虑2的次幂:

  • 如果 8 是 Y, 那么 4, 2 都是Y.
  • 如果 8 是 N, 4 是 Y, 那么 2 是Y.
  • 如果 8 是 N, 4 是 N, 2 是 Y 或是 N.
    共 4 种情况. 推公式算出4 即: 8 = 2^3, 3 + 1 = 4。3 之所以加 1 是因为最小的那个位置(例子中的2),最后可以为Y也可以为N.

然后完整的模拟 n = 6时:

先说结果怎么算: 2^2 <= 6 , 3^1 <= 6, 5 ^ 1 <= 6. (注意, 2,3,5都是小于6的素数)
n = 6时的总情况数为: (2+1)*(1+1)*(1+1) = 12.
上面的式子看上去好像只是确定了位置 2,4,3,5的摆放情况, 其实 1的也确定了,因为 1的位置永远是 Y嘛。 6的位置怎么确定的呢?
哈哈, 由2,3完全确定了。 如果2 是Y, 3 是N, 那么 6一定是 N. 如果2 是Y, 3是 Y,那么6一定是Y(因为能整除2和3一定能整除6啊),,,
这样结论就出来了: 只要确定了 <= n 的素数以及素数的幂的位置的摆放情况数,整个序列的摆放情况就确定了。

如 n = 12 时:

只要确定了 2, 4, 8; 3, 9; 5; 7; 11;的摆放情况,那么 1->12的摆放情况就都确定了。6 由 2,3确定; 10 由 2, 5确定; 12 由 3, 4确定。
因为: 2^3 <= 12; 3^2 <= 12; 5^1 <= 12; 7^1 <= 12; 11^1 <= 12;
总情况数即为: (3+1) * (2+1) * (1+1)*(1+1)*(1+1) = 96.

代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
// #include <unordered_set>
// #include <unordered_map>
#include <algorithm>
#include <stdexcept>
using namespace std;
 
const int maxn = 10e6 + 5; 
const int mod = 1e9 + 7; 
bool visited[maxn];  

int main()
{
    int n; 
    while(scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        long long ans = 1; 
        memset(visited, 0, sizeof(visited)); 
        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
            if(visited[i])
                continue; 
            for(int j = i + i; j <= n; j += i)
                visited[j] = true; 
            
            int tmp = n; 
            int cnt = 0; 
            while(tmp >= i)
            {
                tmp /= i; 
                cnt++; 
            }
            ans = ans * (cnt + 1) % mod; 
        }
        printf("%lld\n", ans); 
    }
    
    return 0; 
}




posted @ 2017-07-26 10:38  草滩小恪  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏