DAG模型——硬币问题

硬币问题　　

　　有n种硬币，面值分别为V₁，V₂，...,V_n，每种都有无限多。给定非负整数S，可以选用多少个硬币，使得面值之和恰好为S？输出硬币数目的最小值和最大值。1<=n<=100, 0<=S<=10000,1<=V_i<=S.

分析：

　　我们把每种面值看做一个点，表示“还需要凑足的面值”，则初始状态为S，目标状态为0.若当前在状态 i ，每使用一个硬币j ，状态便转移到 i-Vj .

　　注意到最长路和最短路的求法是类似的，下面只考虑最长路。由于终点固定，d(i)的确切含义变为“从结点i出发到结点0的最长路径长度”

　　在记忆化搜索中，如果用特殊值表示“还没算过”，则必须将其和其他特殊值（比如无解）区分开。

　　也可以不用特殊值表示还没算过，而是用另外一个数组vis[i]表示状态i “是否被访问过”

记忆化搜索代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 102, maxv = 10005;
int n, S, v[maxn], mind[maxv], maxd[maxv];
int dp1(int s) //最小值
{
    int &ans = mind[s];
    if(ans != -1) return ans;
    ans = 1<<30;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) if(v[i] <= s) ans = min(ans, dp1(s-v[i])+1);
    return ans;
}
int vis[maxv];
int dp2(int s) //最大值
{
    if(vis[s]) return maxd[s];
    vis[s] = 1;
    int &ans = maxd[s];
    ans = -1<<30;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) if(s >= v[i]) ans = max(ans, dp2(s-v[i])+1);
    return ans;
}
void print_ans(int* d, int s) //打印的是边
{
    for(int i = 1; i <= n; ++i) if(v[i] <= s && d[s-v[i]]+1 ==d[s])
        {
            printf("%d ",i);
            print_ans(d, s-v[i]);
            break;
        }
}
int main()
{
    freopen("9-3.in", "r", stdin);
    scanf("%d%d", &n, &S);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", v+i);
    memset(mind, -1, sizeof(mind));
    mind[0] = 0;
    printf("%d\n", dp1(S));
    print_ans(mind, S);
    printf("\n");
    memset(maxd, -1, sizeof(maxd));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    maxd[0] = 0;
    vis[0] = 1;
    printf("%d\n", dp2(S));
    print_ans(maxd, S);
    printf("\n");
    return 0;
}

递推代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn = 110, maxv = 10086, INF = 1234567890;
int v[maxn], S, n, maxf[maxv], minf[maxv], min_coin[maxv], max_coin[maxv];
void print_ans(int *d, int s){
    while(s){
        printf("%d ", d[s]);
        s-=v[d[s]];
    }
}        
int main(){
    freopen("9-3.in", "r", stdin);
    scanf("%d%d", &n, &S);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &v[i]);
    for(int i = 1; i <= S; ++i) {
        //最应注意的是边界条件、初始化，因为递推作为重点一般不会写错，就是在这种细节处出错 
        maxf[i] = -INF; 
        minf[i] = INF;
    }    
    maxf[0] = minf[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= S; ++i)
      for(int j = 1; j <= n; ++j) if(i >= v[j]){
          if(maxf[i-v[j]] + 1 > maxf[i]){
              maxf[i] = maxf[i-v[j]] + 1;
              max_coin[i] = j;
          }
          if(minf[i-v[j]] + 1 < minf[i]){
              minf[i] = minf[i-v[j]] + 1;
              min_coin[i] = j; 
          }
      }
    printf("%d\n", minf[S]);
    print_ans(min_coin, S);
    printf("\n");
    printf("%d\n", maxf[S]);
    print_ans(max_coin, S);
    printf("\n");
    return 0;
}    

不必打印路径代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
const int maxn = 110, maxv = 10086, INF = 123456789;
int n, S, v[maxn], min[maxv], max[maxv];
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &S);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", v+i);
    min[0] = max[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= S; ++i) {min[i] = INF; max[i] = -INF;}
    for(int i = 1; i <= S; ++i)
      for(int j = 1; j <= n; ++j) if(v[j] <= i){
          if(min[i-v[j]] + 1 < min[i]) min[i] = min[i-v[j]] + 1;
          if(max[i-v[j]] + 1 > max[i]) max[i] = max[i-v[j]] + 1;
      }
    printf("%d\n", min[S]);
    printf("%d\n", max[S]);
    return 0;
}