bzoj 3288 - Mato矩阵

Description

\(n\le 10^6\). 一个 \(n*n\) 的矩阵, \(A_{i, j}=gcd(i, j)\) . 求 \(\det A\pmod {10^9+7}\)

Analysis

不会做啊 , 打个表? 找不到规律啊, 大佬们怎么看出来是 \(\varphi\) 的啊

以为自己行列式求错了, 去调了一下发现奥妙规律.

当消元进行到第 \(i\) 行, 第 \(i\) 行还没开始动手消别人时, 有:

\(\forall i~|~d, A_{i,d}=A_{d,i}=A_{i,i}\) (1)

\(\forall i\not|~d, A_{i,d}=A_{d,i} = 0\) (2)

此时 倍加行变换不用乘系数, 直接是 \(A_{id,*}-=A_{i,*}\) (3)

于是写了个调和级数求解对角线.... 今天第四道题比正解多一个 \(\log\) QAQ

正解是 : 消完后 \(A_{i,i} = \varphi(i)\). (4)

(对应表中的规律为: 质数->质数-1, 相邻项比值全是偶数)

Prove

归纳证明一下, 消元进行到第 \(1\) 行时, 结论 \((1)(2)(3)(4)\) 同时成立.

考虑归纳, 假设之前消元进行良好, 当消元进行到第 \(i\) 行时

对于第 \(i\) 列的数 \(A_{j, i}\) , 由于 \(i\) 之前的行都是按照 \((3)\) 的方式进行消元

又根据 \((1)(2)\) 能贡献到 \(A_{j,i}\) 的行号 \(d\) , 必定满足 \(d|i, j\) 即 \(d|(i,j)\)

有 \(\sum_{d|n} \varphi(d)=n\) 以及 \(\sum_{d|n, d<n}\varphi(d)=\varphi (n)\) 两种情况

当 \(i|j\) 时为后者 , 剩下个 \(\varphi (i)\) (\(i\) 的因数 \(i\) 还没动手)

当 \(i\not|j\) 时为前者, 剩下个 \(0\) \((gcd(i,j) < i, 即gcd的因数已全部贡献)\)

对于第 \(i\) 行的数 \(A_{i,j}\) 也可同理证明.

此时 消元进行到 \(i\) 行前时矩阵的模式确实满足 \((1)(2)(3)(4)\), 证毕.