线性近似与牛顿迭代

1.线性近似

线性近似：\(~~~~~f(x)\approx f(a)+(x-a)f'(a)\)

\(~\)

用法：已知\(x\)，用于得到\(f(x)的近似值\)

\(f'(a)=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac {f(x)-f(a)}{x-a}\)
\(f'(a)\approx\frac {f(x)-f(a)}{x-a}\)

\(\therefore f(x)\approx f(a)+(x-a)f'(a)\)

\(~\)

例子：解\(\sqrt{9.06}\)
则有\(f(x)=\sqrt x =x^{\frac 1 2}~~,~~f'(x)=\frac 1{2\sqrt x}\)
令\(a=9\)
则有\(f(a)=3~~,~~f'(a)=\frac 16\)
\(\because x=9.06\)
\(\therefore f(x)\approx3+\frac 1 6*0.06=3.01\)

\(~\)

意义：
式子中\(f(a)\)可看作常数，一个大致的值
\(f'(a)\)可看作斜率
在\(f(a)\)的基础上沿斜率\(f'(a)\)走\(x-a\)的距离作为修正值

2.牛顿法

牛顿法：\(~~~~x\approx~a-\frac {f(a)}{f'(a)}\)

\(~\)

用法：求函数\(f(x)=0\)时的\(~x\)
继续用上面的式子
\(f(x)\approx f(a)+(x-a)f'(a)\)
\(\because f(x)=0\)
\(\therefore x\approx ~a-\frac {f(a)}{f'(a)}\)

\(~\)

例子：解\(x^2-9.06=0\)
\(f(x)=x^2-9.06~~,~~f'(x)=2x\)
令\(a=3\)
则有\(f(a)=-0.06~~,~~f'(a)=6\)
\(x\approx3-\frac {-0.06}{6}=3.01\)

\(~\)

意义：
大致同线性近似
a是求出的\(x\)大致值
\(\frac {f(a)}{f'(a)}\)就是值除以斜率，算出来的是\(x\)坐标的修正值

\(~\)

推广:求出一个x后，重新令\(a=x\)，再算一次算出\(x_2\)，迭代下去
就是牛顿迭代了，算出来的值会hen