hdu 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!（入门SG值）
Problem Description
作为计算机学院的学生，Kiki和Cici打牌的时候可没忘记专业，她们打牌的规则是这样的：
1、 总共n张牌;
2、 双方轮流抓牌；
3、 每人每次抓牌的个数只能是2的幂次（即：1，2，4，8，16…）
4、 抓完牌，胜负结果也出来了：最后抓完牌的人为胜者；
假设Kiki和Cici都是足够聪明（其实不用假设，哪有不聪明的学生~），并且每次都是Kiki先抓牌，请问谁能赢呢？
当然，打牌无论谁赢都问题不大，重要的是马上到来的CET-4能有好的状态。
Good luck in CET-4 everybody!
Input
Output
Sample Input
Sample Output
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int main() 4 { 5 int n; 6 while(cin>>n){ 7 if(n%3)cout<<"Kiki"<<endl;//不是3的倍数，先手必赢 8 else cout<<"Cici"<<endl;//是3的倍数，后手必赢 9 } 10 return 0; 11 }
这题还可以用SG值解决，所谓的SG值就是记录当前状态是N是P的具体值，N-position表示必赢状态（其SG值不为0），P-position表示必输状态（其SG值为0）。下面介绍怎么求SG值：首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示不属于mex这个集合的最小非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(n)=mex{ g(m) | m是n的后继 },这里的g(n)即sg[n]
拿本题的栗子来讲：首先有sg[0]=0，f[]={1,2,4...}；（f数组存放可以抓走扑克牌的张数，并且按升序存放）
当n=1时，先手可以抓走1-f{1}张牌，剩余{0}张，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;
当n=2时，先手可以抓走2-f{1,2}张牌，剩余{1,0}张，mex{sg[1],sg[0]}={1,0}，故sg[2]=2；
当n=3时，先手可以抓走3-f{1,2}张牌，剩余{2,1}张，mex{sg[2],sg[1]}={2,1}，故sg[3]=0;
当n=4时，先手可以抓走4-f{1,2,4}张牌，剩余{3,2,0}张，mex{sg[3],sg[2],sg[0]}={0,2,0},故sg[4]=1;
当n=5时，先手可以抓走5-f{1,2,4}张牌，剩余{4,3,1}张，mex{sg[4],sg[3],sg[1]}={1,0,1},故sg[5]=2；
以此类推.....
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9....
sg[n] 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0....
由上述实例我们就可以得到1~n的SG值的计算步骤，如下所示：
①、使用f数组保存可抓取的扑克牌张数。
②、然后使用vis数组来标记当前状态n的后继m状态。
③、最后模拟mex运算，也就是我们在集合mex中查找未被标记值的最小值，将其赋值给sg(n)。
④、不断的重复 ② - ③ 的步骤，即可完成计算1~n的SG值。
关于3种SG值计算方法（重点）：
1、可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);
2、可选步数为任意步，SG(x) = x;
3、可选步数为一系列不连续的数，用get_SG()计算
此题就是选取第3种方法来计算SG值。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int maxn = 1010; 4 int n,f[11],sg[maxn]; 5 bool vis[maxn]; 6 //f[]：每次抓牌的个数 7 //sg[]: 0~n的SG函数值 8 //vis[]:mex{} 9 void init(){//初始化 10 f[1] = 1;//下标从1开始 11 for(int i=2;i<=10;++i)f[i]=f[i-1]*2;//这里只需枚举到512即可，因为1024已经超过n=1000了 12 } 13 void get_SG(){ 14 memset(sg,0,sizeof(sg)); 15 for(int i=1;i<maxn;++i){ 16 memset(vis,false,sizeof(vis));//每轮到当前i就重新初始化vis都为未访问状态，找出不属于这个集合的最小非负整数 17 for(int j=1;j<11 && f[j]<=i;++j)//j<11要放在判断条件的前面，不然会出现错误即越界，因为数组长度只有10 18 vis[sg[i-f[j]]]=true;//i-f[j]为后继状态,vis[sg[i-f[j]]]收录mex集合 19 for(int j=0;j<maxn;++j)//求没有出现在mex集合中的非负最小值 20 if(!vis[j]){sg[i]=j;break;} 21 } 22 } 23 int main() 24 { 25 init(); 26 get_SG(); 27 while(cin>>n){ 28 if(sg[n])cout<<"Kiki"<<endl;//当sg[n]不为0时，即为N-position，此时先手必赢 29 else cout<<"Cici"<<endl; 30 } 31 return 0; 32 }
再贴一下dfs版本代码：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int maxn = 1050; 4 int n,f[11],sg[maxn]; 5 /* 6 SG值：一个点的SG值就是一个不等于它的后继点的SG的且大于等于零的最小整数。 7 同mex()函数。简单点来讲就是当前状态离最近一个必败点的距离。距离为0就是必败点 8 SG(x)=mex（S），S是x的后继状态的SG函数值集合，mex(S)表示不在S内的最小非负整数 9 SG值是P/N状态的具体化 10 */ 11 int mex(int x){//求该点的SG值（采用记忆化搜索） 12 if(sg[x]!=-1)return sg[x];//搜索过了 13 bool vis[maxn];//vis数组要在此声明，不然会出错，因为这里是递归操作 14 memset(vis,false,sizeof(vis)); 15 for(int i=1;i<=10;++i){ 16 int tmp=x-f[i]; 17 if(tmp<0)break;//当差值小于0，直接退出 18 sg[tmp]=mex(tmp);//找sg[tmp]的后继值 19 vis[sg[tmp]]=true;//回退的时候标记后继sg值标记为true 20 } 21 for(int i=0;i<=maxn;++i)//每次break退出时就取不属于mex集合的最小非负整数 22 if(!vis[i]){sg[x]=i;break;} 23 return sg[x];//返回x的最小非负整数 24 } 25 int main() 26 { 27 f[1]=1; 28 for(int i=2;i<=10;++i) 29 f[i]=f[i-1]*2;//只需枚举到512就行了，因为1024>1000没必要取到 30 memset(sg,-1,sizeof(sg));//初始化为-1，记忆化搜索 31 while(cin>>n){ 32 if(mex(n))cout<<"Kiki"<<endl;//当sg[n]不为0时即为N-position，先手必赢 33 else cout<<"Cici"<<endl; 34 } 35 return 0; 36 }
更多详解参考一下这篇博文：博弈论 SG函数
