跳跃表-原理及Java实现

跳跃表-原理及Java实现

引言:

上周现场面试阿里巴巴研发工程师终面,被问到如何让链表的元素查询接近线性时间。笔者苦思良久,缴械投降。面试官告知回去可以看一下跳跃表,遂出此文。

 

  1. 跳跃表的引入

我们知道,普通单链表查询一个元素的时间复杂度为O(n),即使该单链表是有序的,我们也不能通过2分的方式缩减时间复杂度。

 

 

如上图,我们要查询元素为55的结点,必须从头结点,循环遍历到最后一个节点,不算-INF(负无穷)一共查询8次。那么用什么办法能够用更少的次数访问55呢?最直观的,当然是新开辟一条捷径去访问55。

 

 

如上图,我们要查询元素为55的结点,只需要在L2层查找4次即可。在这个结构中,查询结点为46的元素将耗费最多的查询次数5次。即先在L2查询46,查询4次后找到元素55,因为链表是有序的,46一定在55的左边,所以L2层没有元素46。然后我们退回到元素37,到它的下一层即L1层继续搜索46。非常幸运,我们只需要再查询1次就能找到46。这样一共耗费5次查询。

 

那么,如何才能更快的搜寻55呢?有了上面的经验,我们就很容易想到,再开辟一条捷径。

如上图,我们搜索55只需要2次查找即可。这个结构中,查询元素46仍然是最耗时的,需要查询5次。即首先在L3层查找2次,然后在L2层查找2次,最后在L1层查找1次,共5次。很显然,这种思想和2分非常相似,那么我们最后的结构图就应该如下图。

 

 

我们可以看到,最耗时的访问46需要6次查询。即L4访问55,L3访问21、55,L2访问37、55,L1访问46。我们直觉上认为,这样的结构会让查询有序链表的某个元素更快。那么究竟算法复杂度是多少呢?

 

如果有n个元素,因为是2分,所以层数就应该是log n层 (本文所有log都是以2为底),再加上自身的1层。以上图为例,如果是4个元素,那么分层为L3和L4,再加上本身的L2,一共3层;如果是8个元素,那么就是3+1层。最耗时间的查询自然是访问所有层数,耗时logn+logn,即2logn。为什么是2倍的logn呢?我们以上图中的46为例,查询到46要访问所有的分层,每个分层都要访问2个元素,中间元素和最后一个元素。所以时间复杂度为O(logn)

 

至此为止,我们引入了最理想的跳跃表,但是如果想要在上图中插入或者删除一个元素呢?比如我们要插入一个元素22、23、24……,自然在L1层,我们将这些元素插入在元素21后,那么L2层,L3层呢?我们是不是要考虑插入后怎样调整连接,才能维持这个理想的跳跃表结构。我们知道,平衡二叉树的调整是一件令人头痛的事情,左旋右旋左右旋……一般人还真记不住,而调整一个理想的跳跃表将是一个比调整平衡二叉树还复杂的操作。幸运的是,我们并不需要通过复杂的操作调整连接来维护这样完美的跳跃表。有一种基于概率统计的插入算法,也能得到时间复杂度为O(logn)的查询效率,这种跳跃表才是我们真正要实现的。

 

  1. 容易实现的跳跃表

容易实现的跳跃表,它允许简单的插入和删除元素,并提供O(logn)的查询时间复杂度,以下我们简称为跳跃表。

 

先讨论插入,我们先看理想的跳跃表结构,L2层的元素个数是L1层元素个数的1/2,L3层的元素个数是L2层的元素个数的1/2,以此类推。从这里,我们可以想到,只要在插入时尽量保证上一层的元素个数是下一层元素的1/2,我们的跳跃表就能成为理想的跳跃表。那么怎么样才能在插入时保证上一层元素个数是下一层元素个数的1/2呢?很简单,抛硬币就能解决了!假设元素X要插入跳跃表,很显然,L1层肯定要插入X。那么L2层要不要插入X呢?我们希望上层元素个数是下层元素个数的1/2,所以我们有1/2的概率希望X插入L2层,那么抛一下硬币吧,正面就插入,反面就不插入。那么L3到底要不要插入X呢?相对于L2层,我们还是希望1/2的概率插入,那么继续抛硬币吧!以此类推,元素X插入第n层的概率是(1/2)的n次。这样,我们能在跳跃表中插入一个元素了。

 

在此还是以上图为例:跳跃表的初试状态如下图,表中没有一个元素:

 

 

如果我们要插入元素2,首先是在底部插入元素2,如下图:

 

 

然后我们抛硬币,结果是正面,那么我们要将2插入到L2层,如下图

 

 

继续抛硬币,结果是反面,那么元素2的插入操作就停止了,插入后的表结构就是上图所示。接下来,我们插入元素33,跟元素2的插入一样,现在L1层插入33,如下图:

 

 

然后抛硬币,结果是反面,那么元素33的插入操作就结束了,插入后的表结构就是上图所示。接下来,我们插入元素55,首先在L1插入55,插入后如下图:

 

 

然后抛硬币,结果是正面,那么L2层需要插入55,如下图:

 

 

继续抛硬币,结果又是正面,那么L3层需要插入55,如下图:

 

 

继续抛硬币,结果又是正面,那么要在L4插入55,结果如下图:

 

 

继续抛硬币,结果是反面,那么55的插入结束,表结构就如上图所示。

 

以此类推,我们插入剩余的元素。当然因为规模小,结果很可能不是一个理想的跳跃表。但是如果元素个数n的规模很大,学过概率论的同学都知道,最终的表结构肯定非常接近于理想跳跃表。

 

当然,这样的分析在感性上是很直接的,但是时间复杂度的证明实在复杂,在此我就不深究了,感兴趣的可以去看关于跳跃表的paper。

 

再讨论删除,删除操作没什么讲的,直接删除元素,然后调整一下删除元素后的指针即可。跟普通的链表删除操作完全一样。

 

再来讨论一下时间复杂度,插入和删除的时间复杂度就是查询元素插入位置的时间复杂度,这不难理解,所以是O(logn)。

 

  1. Java实现

在章节2中,我们采用抛硬币的方式来决定新元素插入的最高层数,这当然不能在程序中实现。代码中,我们采用随机数生成的方式来获取新元素插入的最高层数。我们先估摸一下n的规模,然后定义跳跃表的最大层数maxLevel,那么底层,也就是第0层,元素是一定要插入的,概率为1;最高层,也就是maxLevel层,元素插入的概率为1/2^maxLevel。

 

我们先随机生成一个范围为0~2^maxLevel-1的一个整数r。那么元素r小于2^(maxLevel-1)的概率为1/2,r小于2^(maxLevel-2)的概率为1/4,……,r小于2的概率为1/2^(maxLevel-1),r小于1的概率为1/2^maxLevel。

 

举例,假设maxLevel为4,那么r的范围为0~15,则r小于8的概率为1/2,r小于4的概率为1/4,r小于2的概率为1/8,r小于1的概率为1/16。1/16正好是maxLevel层插入元素的概率,1/8正好是maxLevel层插入的概率,以此类推。

 

通过这样的分析,我们可以先比较r和1,如果r<1,那么元素就要插入到maxLevel层以下;否则再比较r和2,如果r<2,那么元素就要插入到maxLevel-1层以下;再比较r和4,如果r<4,那么元素就要插入到maxLevel-2层以下……如果r>2^(maxLevel - 1),那么元素就只要插入在底层即可。

 

以上分析是随机数算法的关键。算法跟实现跟语言无关,但是Java程序员还是更容易看明白Java代码实现的跳跃表,以下贴一下别人的java代码实现。作者找不到了,就这样吧。


 1 /***************************  SkipList.java  *********************/
 2 
 3 import java.util.Random;
 4 
 5 public class SkipList<T extends Comparable<? super T>> {
 6     private int maxLevel;
 7     private SkipListNode<T>[] root;
 8     private int[] powers;
 9     private Random rd = new Random();
10     SkipList() {
11         this(4);
12     }
13     SkipList(int i) {
14         maxLevel = i;
15         root = new SkipListNode[maxLevel];
16         powers = new int[maxLevel];
17         for (int j = 0; j < maxLevel; j++)
18             root[j] = null;
19         choosePowers();
20     }
21     public boolean isEmpty() {
22         return root[0] == null;
23     }
24     public void choosePowers() {
25         powers[maxLevel-1] = (2 << (maxLevel-1)) - 1;    // 2^maxLevel - 1
26         for (int i = maxLevel - 2, j = 0; i >= 0; i--, j++)
27            powers[i] = powers[i+1] - (2 << j);           // 2^(j+1)
28     }
29     public int chooseLevel() {
30         int i, r = Math.abs(rd.nextInt()) % powers[maxLevel-1] + 1;
31         for (i = 1; i < maxLevel; i++)
32             if (r < powers[i])
33                 return i-1; // return a level < the highest level;
34         return i-1;         // return the highest level;
35     }
36     // make sure (with isEmpty()) that search() is called for a nonempty list;
37     public T search(T key) { 
38         int lvl;
39         SkipListNode<T> prev, curr;            // find the highest nonnull
40         for (lvl = maxLevel-1; lvl >= 0 && root[lvl] == null; lvl--); // level;
41         prev = curr = root[lvl];
42         while (true) {
43             if (key.equals(curr.key))          // success if equal;
44                  return curr.key;
45             else if (key.compareTo(curr.key) < 0) { // if smaller, go down,
46                  if (lvl == 0)                 // if possible
47                       return null;      
48                  else if (curr == root[lvl])   // by one level
49                       curr = root[--lvl];      // starting from the
50                  else curr = prev.next[--lvl]; // predecessor which
51             }                                  // can be the root;
52             else {                             // if greater,
53                  prev = curr;                  // go to the next
54                  if (curr.next[lvl] != null)   // non-null node
55                       curr = curr.next[lvl];   // on the same level
56                  else {                        // or to a list on a lower level;
57                       for (lvl--; lvl >= 0 && curr.next[lvl] == null; lvl--);
58                       if (lvl >= 0)
59                            curr = curr.next[lvl];
60                       else return null;
61                  }
62             }
63         }
64     }
65     public void insert(T key) {
66         SkipListNode<T>[] curr = new SkipListNode[maxLevel];
67         SkipListNode<T>[] prev = new SkipListNode[maxLevel];
68         SkipListNode<T> newNode;
69         int lvl, i;
70         curr[maxLevel-1] = root[maxLevel-1];
71         prev[maxLevel-1] = null;
72         for (lvl = maxLevel - 1; lvl >= 0; lvl--) {
73             while (curr[lvl] != null && curr[lvl].key.compareTo(key) < 0) { 
74                 prev[lvl] = curr[lvl];           // go to the next
75                 curr[lvl] = curr[lvl].next[lvl]; // if smaller;
76             }
77             if (curr[lvl] != null && key.equals(curr[lvl].key)) // don't 
78                 return;                          // include duplicates;
79             if (lvl > 0)                         // go one level down
80                 if (prev[lvl] == null) {         // if not the lowest
81                       curr[lvl-1] = root[lvl-1]; // level, using a link
82                       prev[lvl-1] = null;        // either from the root
83                 }
84                 else {                           // or from the predecessor;
85                      curr[lvl-1] = prev[lvl].next[lvl-1];
86                      prev[lvl-1] = prev[lvl];
87                 }
88         }
89         lvl = chooseLevel();                // generate randomly level 
90         newNode = new SkipListNode<T>(key,lvl+1); // for newNode;
91         for (i = 0; i <= lvl; i++) {        // initialize next fields of
92             newNode.next[i] = curr[i];      // newNode and reset to newNode
93             if (prev[i] == null)            // either fields of the root
94                  root[i] = newNode;         // or next fields of newNode's
95             else prev[i].next[i] = newNode; // predecessors;
96         }
97     }
98 }

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

posted @ 2014-04-25 13:51  Jeff.Hu  阅读(32399)  评论(11编辑  收藏  举报