2026.10.12 考试总结

考试总结

估：100 + 100 + 46 + 15

实：100 + 100 + 64 + 3 rk1

打暴力打的，天天不想正解导致的。

T1

原（但要求线性，考试时可以带 \(\log\)）：Matrix Transformation

将在 \(b\) 上加转化为 \(a\) 上减，并 \(a_{i, j} \gets b_{i, j} - a_{i, j}\)。不难发现对于任意 \(i\) 有 \(\forall j a_{i, j} - a_{i - 1, j}\) 不变，原因显然，对于 \(j\) 也是一样的。选一个基准位置直接算即可。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int ll
#define ll long long
#define usd unsigned
#define el putchar('\n')
#define lowbit(x) (x & (-x))
#define AC return 
#define AK return 0
#define YS cout << "YES"
#define NO cout << "NO"
#define Ys cout << "Yes"
#define No cout << "No"
#define ys cout << "yes"
#define no cout << "no"
#define ls(i) ch[i][0]
#define rs(i) ch[i][1]
#define debug(num) cerr << #num << ' ' << num << '\n'
#define void inline void
#define il inline
#define Mod(x) (((x) % mod + mod) % mod)
#define pii pair <int, int>
#define pll pair <ll, ll>
il char gc() { char c; while((c = getchar()) <= ' ') ; return c; }
il int rd() {
	char c; int x, f = 1;
	while(!isdigit(c = getchar())) if(c == '-') f *= -1;
	x = c ^ 48;
	while(isdigit(c = getchar())) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);
	return x * f;
}
void ACehomoxue();
signed main() {
	srand(time(0));
	// freopen("matrix.in", "r", stdin);
	// freopen("matrix.out", "w", stdout);
	int t = 1;
	t = rd();
	while(t--) ACehomoxue();
	AK;
}
const int mod = 998244353, maxn = 1e5 + 18;

int n, m, dx[maxn], dy[maxn], ans = 0, tx, ty;
vector < vector <int> > a;
map <int, int> sx, sy, cx, cy;
vector <pii> vv;

void ACehomoxue() {
    ans = 1e18;
    tx = 0, ty = 0;
    sx.clear(), sy.clear(), cx.clear(), cy.clear();
	n = rd(), m = rd();
    a = vector < vector <int> > (n + 18, vector <int> (m + 18, 0));
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= m; j++) {
            a[i][j] = -rd();
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= m; j++) {
            a[i][j] += rd();
        }
    }
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        dx[i] = a[i][1] - a[i - 1][1];
        for(int j = 2; j <= m; j++) if(dx[i] != a[i][j] - a[i - 1][j]) { cout << -1; el; AC; }
    }
    for(int j = 2; j <= m; j++) {
        dy[j] = a[1][j] - a[1][j - 1];
        for(int i = 2; i <= n; i++) if(dy[j] != a[i][j] - a[i][j - 1]) { cout << -1; el; AC; }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) dx[i] += dx[i - 1], cx[dx[i]]++, sx[dx[i]] += dx[i], tx += dx[i];
    for(int i = 1; i <= m; i++) dy[i] += dy[i - 1], cy[dy[i]]++, sy[dy[i]] += dy[i], ty += dy[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= m; j++) {
            cx[dx[i] - a[i][j]] += 0, sx[dx[i] - a[i][j]] += 0;
            cy[dy[j] - a[i][j]] += 0, sy[dy[j] - a[i][j]] += 0;
        }
    }
    int lst = 0;
    for(auto &[i, j] : sx) j += lst, lst = j; 
    lst = 0;
    for(auto &[i, j] : sy) j += lst, lst = j; 
    lst = 0;
    for(auto &[i, j] : cx) j += lst, lst = j; 
    lst = 0;
    for(auto &[i, j] : cy) j += lst, lst = j;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= m; j++) {
            vv.clear();
            vv.push_back({dx[i], dy[j] - a[i][j]});
            vv.push_back({dx[i] - a[i][j], dy[j]});
            for(pii pr : vv) {
                int res = 0, x = pr.first, y = pr.second;
                res += cx[x] * x - sx[x] + (tx - sx[x] - (n - cx[x]) * x);
                res += cy[y] * y - sy[y] + (ty - sy[y] - (m - cy[y]) * y);
                ans = min(ans, res);
            }
        }
    }
    cout << ans;
    el;
}

T2

原：Medals

直接分讨即可。

code

T3

原：Enormous Atcoder Railroad

hanghangniubi，虽然没看懂他的做法。这篇题解细节在这里。

不难发现先地铁再公交再走路不劣，将每个地铁之间当作独立段。设 \(dp_{i, j, t}\) 表示长度为 \(i\) 的段，左边到原点距离为 \(j\)，右边为 \(j + t\)，其中 \(t \in [0, 1]\) 即可，那么每一段的贡献就是 \(dp_{s_{i + 1} - s_i, j, 1}\)。

先考虑 \(dp_{i, j, 0}\)，考虑在不在里面放公交站显然为 \([i \le 2(x - j) + 1]\)，对于在里面放，枚举最左边的一个，有：

\[dp_{i, j, 0} = \sum_{len = 1} ^ {2(X - j)} dp_{i - len, j, 1} \]

注意区间是可以反转的，我们默认右边那个时间大于等于左边。我们在考虑一下 \(dp_{i, j, 1}\) 的转移，首先还是里面不放，注意到应为 \([i \le 2(x - j)]\)。里面如果要放，有类似的转移，枚举最左边的距离左边界的位置，有：

\[dp_{i, j, 1} = \sum_{len = 1} ^ {2(X - j)} dp_{i - len, j + 1, 0} \]

前缀和优化可以做到 \(O(kX)\)，注意开不下要滚动数组。做完了。

code

T4

原：Percepts of Atcoder

你难道想写子序列自动机吗？