第二类斯特林数

斯特林

主要写一点计数相关。

第二类斯特林数

\(S(n, k)\) 表示 \(n\) 个两两不同球划分进 \(k\) 个非空相同（无标号）集合的方案数，也可写作 \(\left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}\)，其递推公式为：

\[\left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} n - 1 \\ k - 1 \end{matrix} \right\} + k\left\{ \begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix} \right\} \]

对于最后一个球是否单开一个分类，边界为 \(\left\{ \begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix} \right\} = [n = 0]\)。

下降幂

\(x ^ {\underline{n}} = x (x - 1) (x - 2) \cdots (x - n + 1) = \binom {x} {n} n!\)

组合结论

• \(n\) 个两两不同球划分进 \(k\) 个有标号集合的方案数。

显然为 \(\left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\} k!\)

那么可以引出下面的公式：

\[x ^ n = \sum_{k} \left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\} k! \binom {x} {k} \]

写这篇博客就是为了这个，醋来了。

不难发现 \(x ^ n\) 本质表示 \(n\) 个球放到 \(x\) 个集合里面，枚举有 \(k\) 个集合非空，那么装球的方案数为 \(\left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\} k!\)，还要从 \(x\) 个集合里面选 \(k\) 个有方案数 \(\binom {x} {k}\)，所以不难有方案数 \(\left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\} k! \binom {x} {k}\)。

常用于推式子，如求 \(\sum_x f(x) ^ k\) 且支持 \(k ^ 2\)，不是拉插就是斯数。