高等数学

高数

好高的树。

不严谨的讲解了 oi 相关的。

目录

• 高数
  • 无穷小
    • 极限
    • 无穷大
    • 无穷小运算
    • 极限的运算
    • 重要极限
      • \(\lim_{x \rightarrow 0} \frac {\sin x} {x} = 1\)
      • \(\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac 1 n) ^ n\)
    • 无穷小的阶
      • 常用等价无穷小
        • \(\lim_{x \rightarrow 0} \frac {(x + 1) ^ a - 1} x = \lim_{x \rightarrow 0} \frac {ax} x = a\)
        • \((1 + x) ^ a - 1 \sim ax\)
        • \(\log_a (x + 1) \sim \frac x {\ln a}\)
        • \(a ^ x - 1 \sim \ln a \times x\)
  • 求导
    • 常用函数求导
      • \((c) ^ \prime = 0\)
      • \((x ^ a) ^ \prime = a x ^ {a - 1}\)
      • \((\sin x) ^ \prime = \cos x\)
      • \((a ^ x) ^ \prime = \ln a \times a ^ x\)
      • \((\log_a x) ^ \prime = \frac 1 {x \ln a}\)
    • 四则运算
      • 加减
      • 乘法
        • 证明
      • 复合函数
        • 证明
      • 逆元
      • 除法
  • 中值定理
    • 罗尔中值定理
      • 证明
    • 拉格朗日中值定理
      • 证明
    • 柯西中值定理
      • 证明
    • 洛必达法则
      • 证明
        • 当两者趋近于 \(0\) 时
        • 趋近于 \(\infty\)
  • 泰勒公式
  • 微积分
    • 微分
      • 性质
    • 积分

无穷小

高数理当从无穷小开始。小学时学过这样一个数 \(0.999\cdots\)。我们现在知道其等于 \(1\)，我们令 \(1 - 0.99\cdots = 0.0\cdots001\) 为无穷小。既然为无穷小，那么其非常小并应不为 \(0\)，我们称其为 \(\alpha\)。我们设其有 \(x\) 个 \(0\)，那么 \(\forall y \in N ^ +\) 有 \(y < x\)。可以将其理解为不等于 \(0\) 但具有 \(0\) 的性质的数。

极限

\(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)\) 表示 \(x\) 趋近于 \(x_0\) 时 \(f(x)\) 的值，可以理解为 \(x = x_0 + \alpha\)，\(f(x) = f(x_0) + \beta\)。

无穷大

可以定义为 \(\lim_{x \rightarrow 0} \frac 1 x\)。注意 \(\infty\) 包含 \(+\infty\) 和 \(-\infty\)。

无穷小运算

• 两个无穷小的和是无穷小。显然有限个无穷小也是无穷小。
• 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。因为上面的后面半句。
• 常数与无穷小的乘积是无穷小。
• 有限个无穷小的乘积是无穷小。

极限的运算

• 对于 \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) \pm g(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) \pm \lim_{x \rightarrow x_0} g(x)\)，逆运算也适用。
• \(\lim_{x \rightarrow x_0} k f(x) = k \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)\)。
• \(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) g(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) \times \lim_{x \rightarrow x_0} g(x)\)。
• 对于 \(x \rightarrow x_0\) 时 \(g(x) \ne 0\)，\(\lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f_x} {g_x} = \frac{\lim_{x \rightarrow x_0} f_x}{\lim_{x \rightarrow x_0} g_x}\)，若上 \(0\) 下不为 \(0\) 为 \(0\)，下为上不为 \(\infty\)，若都为 \(0\) 或无穷大则可以洛可以看最高次项（其实就是介），上面大为 \(\infty\) 下面大为 \(0\)，否则可以同除最高次项计算。

重要极限

\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac {\sin x} {x} = 1\)

使用夹逼准则计算，若找到 \(g(x) < f(x) < h(x)\) 且能够就算出 \(g(x_0)\) 和 \(h(x_0)\) 且 \(g(x_0) = h(x_0)\) 那么显然 \(g(x_0) = h(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)\)。

其中弧 \(AB\) 显然等于 \(x\)。

通过面积计算，有 \(\frac 1 2 \times 1 \times \sin x < \frac 1 2 \times x \times 1 < \frac 1 2 \times 1 \times \tan x\)。

同乘 \(\frac 2 {\sin x}\) 得：

\[1 < \frac x {\sin x} < \frac 1 {\cos x} \]

显然有 \(\lim_{x \rightarrow 0} \frac x {\sin x} = 1\)。倒一下即可。

\(\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac 1 n) ^ n\)

作为现代人我们知道其等于 \(e\)，现在证明其有极限（收敛）。二项式定理展开：

\[(1 + \frac 1 n) ^ n = \sum_{i = 0} ^ n \binom n i (\frac 1 n) ^ i \]

把组合数化成阶乘得到：

\[\sum_{i = 0} ^ n \frac {n!} {i! (n - i)! n ^ i} \]

还是太难看了喵！带进去看一看：

\[1 + 1 + \sum_{i = 2} ^ n \frac 1 {i!} \times \prod_{k = 1} ^ {i - 1} 1 - \frac k {n + 1} \]

对于每一个 \(\frac 1 {i!} \times \prod_{k = 1} ^ {i - 1} 1 - \frac k {n + 1}\) 显然 \(>0\) 且随 \(n\) 增而增，所以显然原式是单增得。

当 \(n \rightarrow \infty\)，\(\prod_{k = 1} ^ {i - 1} 1 - \frac k {n + 1} \rightarrow 1\)，带进去数列为：

\[\sum_{i = 0} ^ \infty \frac 1 {i!} \]

写展开来：

\[1 + 1 + \frac 1 {2} + \frac 1 {6} + \frac 1 {24} + \dots \]

这个序列显然小于下面的序列：

\[1 + 1 + \frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + \dots = 1 + 1 + 1 = 3 \]

于是原式小于 \(3\)。

无穷小的阶

我们设 \(f(x) \rightarrow 0 = \alpha\)，\(g(x) \rightarrow 0 = \beta\)，设 \(k = \lim \frac \beta \alpha\)，那么：

• 若 \(k = 0\) 那么 \(\beta\) 为 \(\alpha\) 的高阶无穷小，记为 \(\beta = o(\alpha)\)。
• 若 \(k = \infty\) 那么 \(\beta\) 为 \(\alpha\) 的低阶无穷小。
• 若 \(k = c \ne 0\) 那么 \(\beta\) 为 \(\alpha\) 的同阶无穷小。
• 若 \(\lim \frac \beta {\alpha ^ x}\) 那么 \(\beta\) 为 \(\alpha\) 的 \(x\) 阶无穷小。
• 若 \(k = 1\) 说明 \(\alpha\) 于 \(\beta\) 是等价无穷小，记作 \(a \sim b\)。

可以用于极限的快速计算。

常用等价无穷小

可以代来代去的。

\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac {(x + 1) ^ a - 1} x = \lim_{x \rightarrow 0} \frac {ax} x = a\)

考虑展开 \(\lim_{x \rightarrow 0} \frac {(x + 1) ^ a - 1} x\) 有：

\[\lim_{x \rightarrow 0} \frac {\sum_{i = 0} ^ a \binom{a}{i} x ^ i - 1} x \]

提出两项得:

\[\lim_{x \rightarrow 0} \frac {1 + ax + \sum_{i = 2} ^ a \binom{a}{i} x ^ i - 1} x = \lim_{x \rightarrow 0} \frac {ax + \sum_{i = 2} ^ a \binom{a}{i} x ^ i} x \]

\[= \lim_{x \rightarrow 0} \frac {ax} x + \lim_{x \rightarrow 0} \frac {\sum_{i = 2} ^ a \binom a i x ^ i} x \]

后面那坨显然为 \(0\)，得证。

\((1 + x) ^ a - 1 \sim ax\)

第一条结论除一除然后求极限显然得证。

\(\log_a (x + 1) \sim \frac x {\ln a}\)

列出式子：

\[\lim_{x \rightarrow 0} \frac {\log_a (x + 1)} {\frac x {\ln a}} \]

上面换底：

\[\lim_{x \rightarrow 0} \frac {\frac {\ln (x + 1)} {\ln a}} {\frac x {\ln a}} \]

\[= \lim_{x \rightarrow 0} \frac {\ln (x + 1)} x \]

\[= \lim_{x \rightarrow 0} \ln ((x + 1) ^ {\frac 1 x}) \]

\[= \ln (\lim_{x \rightarrow 0} (x + 1) ^ {\frac 1 x}) \]

令 \(t = \frac 1 x\)，得：

\[\ln (\lim_{t \rightarrow \infty} (1 + \frac 1 t) ^ t) \]

\[= \ln e \]

\[= 1 \]

得证。

\(a ^ x - 1 \sim \ln a \times x\)

即要解出 \(\lim_{x \rightarrow 0} \frac {a ^ x - 1} {x \ln a}\)。我们不妨设 \(t = a ^ x - 1\)，把 \(-1\) 移一下得到 \(t + 1 = a ^ x\)，两边取 \(\ln\) 得到 \(\ln(t + 1) = \ln (a ^ x) = x \ln a\)，带入原式得：

\[\lim_{x \rightarrow 0} \frac t {\ln (t + 1)} = 1 \]

得证。

求导

导数又称微分，表示函数的切线斜率，可以表示为：

\[f ^ \prime (x) = \lim _{h \rightarrow 0} \frac {f(x + h) - f(x)} h \]

常用函数求导

除了这些基本都可以用四则运算算出来。

\((c) ^ \prime = 0\)

显然。

\((x ^ a) ^ \prime = a x ^ {a - 1}\)

列出式子有：

\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac {(x + h) ^ a - x ^ a} {h} \]

二项式定理有：

\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac {\sum_{i = 0} ^ a \binom{a}{i} x ^ {a - i} h ^ i - x ^ a} {h} \]

提出前两项：

\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac {1 \times h ^ 0 \times x ^ a + a \times h^1 \times x ^ {a - 1} + \sum_{i = 2} ^ a a \binom{a}{i} x ^ {a - i} h ^ i - x ^ a} {h} \]

把首位两项抵消，剩下两项分开有：

\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac {a h x ^ {a - 1}} h + \lim_{h \rightarrow 0} \frac {\sum_{i = 2} ^ a \binom{a}{i} x ^ {a - i} h ^ i} h \]

\[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac {a h x ^ {a - 1}} h \]

\[= ax ^ {a - 1} \]

得证。

\((\sin x) ^ \prime = \cos x\)

同时 \((\cos x) ^ \prime = -\sin x\) 也可用类似方法证明。

列出式子：

\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac {\sin(x + h) - sin(x)} h \]

和角公式展开：

\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac {\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x} h \]

整理一下有：

\[\cos x \lim_{h \rightarrow 0} \frac {\sin h} h + \sin x \lim_{h \rightarrow 0} \frac {\cos h - 1} h \]

前面显然可以带入 \(h \sim \sin h\) 画出来，有：

\[\cos x + \sin x \lim_{h \rightarrow 0} \frac {\cos h - 1} h \]

现在来算 \(\lim_{h \rightarrow 0} \frac {\cos h - 1} h\)。

\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac {\cos h - 1} h \]

\[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac {(\cos h - 1) (\cos h + 1)} {h(\cos h + 1)} \]

\[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac {\cos ^ 2 h - 1} {h(\cos h + 1)} \]

\[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac {-\sin ^ 2 h} {h(\cos h + 1)} \]

\[= \lim_{h \rightarrow 0} -1 \times \frac {\sin h} h \times \sin h \times \frac 1 {\cos h + 1} \]

\[= -1 \times 1 \times 0 \times \frac 1 2 \]

\[= 0 \]

那么带入原式有：

\[\cos x + \sin x \times 0 \]

\[= \cos x \]

\((a ^ x) ^ \prime = \ln a \times a ^ x\)

所以有 \((e ^ x) ^ \prime = e ^ x\)

列出式子：

\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac {a ^ {x + h} - a ^ x} h \]

提取公因式有：

\[a ^ x \lim_{h \rightarrow 0} \frac {a ^ h - 1} h \]

代入 \(a ^ x - 1 \sim x \ln a\)

\[a ^ x \ln a \]

\((\log_a x) ^ \prime = \frac 1 {x \ln a}\)

所以有 \((\ln x) ^ \prime = \frac 1 x\)。

列出式子：

\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac {\log_a (x + h) - \log_a x} h \]

\[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac {\log_a (\frac {x + h} x)} h \]

\[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac {\log_a (1 + \frac h x)} h \]

由于 \(\log_a (x + 1) \sim \frac x {\ln a}\)，有：

\[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac {\frac {\frac h x} {\ln a}} h \]

\[= \frac 1 {x \ln a} \]

四则运算

加减

\[(f(x) \pm g(x)) ^ \prime = f ^ \prime (x) \pm g ^ \prime (x) \]

显然。

乘法

\[(f(x) \times g(x)) ^ \prime = f ^ \prime (x) g(x) + f(x) g ^ \prime (x) \]

证明

列出式子：

\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac {f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)} {h} \]

上面加一个 \(f(x + h)g(x) - f(x + h)g(x)\) 得：

\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac {f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x) + f(x + h)g(x) - f(x + h)g(x)} {h} \]

\[= \lim_{h \rightarrow 0} \frac {f(x + h)(g(x + h) - g(x)) + g(x) (f(x + h) - f(x))} {h} \]

分开两部分，得：

\[\lim_{h \rightarrow 0} f(x + h) \frac {g(x + h) - g(x)} {h} + \lim_{h \rightarrow 0} g(x) \frac {f(x + h) - f(x)} {h} \]

\[= f(x) g ^ \prime (x) + g(x) f ^ \prime (x) \]

得证。

复合函数

链式求导法则。

\[(f(g(x))) ^ \prime = f ^ \prime (g(x)) \times g ^ \prime (x) \]

证明

列出式子：

\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac {f(g(x + h)) - f(g(x))} {h} \]

转化一下得：

\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac {f(g(x + h)) - f(g(x))} {g(x + h) - g(x)} \times \frac {g(x + h) - g(x)} {h} \]

\[= f ^ \prime(g(x)) g ^ \prime (x) \]

得证。

逆元

想不出来叫啥名字就叫逆元吧。

\[(\frac 1 {f(x)}) ^ \prime = \frac {-f ^ \prime(x)} {f(x) ^ 2} \]

证明就是构造 \(g(x) = \frac 1 x\) 然后对复合函数 \(g(f(x))\) 求导即可。

除法

\[(\frac {f(x)} {g(x)}) ^ \prime = \frac {f ^ \prime(x) g(x) - f(x)g ^ \prime (x)} {g(x) ^ 2} \]

直接 \(f(x) \times \frac 1 {g(x)}\) 即可。

中值定理

下面提到的区间 \([l, r]\) 都是开可导闭连续。

罗尔中值定理

对于任意函数 \(f(x)\) 在 \((l, r)\) 上可导 \([l, r]\) 上连续，\(\exist x \in [l, r]\) 使得 \(f ^ \prime (x) = 0\)。

证明

费马引理。

拉格朗日中值定理

对于任意函数 \(f(x)\) 的一个开可导闭连续的区间 \([a, b]\)，存在 \(\xi \in [a, b]\) 使得 \(f ^ \prime (x) = \frac {f(b) - f{a}} {b - a}\)。

就是罗尔中值定理斜了过来。

证明

构造 \(F(x) = f(x) - \left[ f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) \right]\)，我们发现其 \(F(a) = F(b) = f(a)\)，利用罗尔中值定理证明。

柯西中值定理

对于任意函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 且都于 \((a, b)\) 可导 \([a, b]\) 连续，那么存在 \(\xi\) 使得：

\[\frac {f ^ \prime (\xi)} {g ^ \prime (\xi)} = \frac {f(b) - f(a)} {g(b) - g(a)} \]

证明

类似的构造，构造出 \(F(x) = [f(b) - f(a)] g(x) - [g(b) - g(a)] f(x)\) 即可。

洛必达法则

对于函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)，在 \(x \rightarrow x_0\) 时都趋近于 \(0\) 或都趋近于 \(\infty\)，有：

\[\lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x)} {g(x)} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f ^ \prime (x)} {g ^ \prime (x)} \]

证明

当两者趋近于 \(0\) 时

当 \(x \rightarrow x_0\)，根据柯西中值定理，\(\exist \xi \in (\min(x, x_0), \max(x, x_0))\)，使得：

\[f ^ \prime (\xi) = \frac {f(x) - f(x_0)} {x - x_0} \]

那么也存在：

\[g ^ \prime (\xi) = \frac {g(x) - g(x_0)} {x - x_0} \]

由于 \(x \rightarrow x_0\) 显然有 \(\xi \rightarrow x_0\)，两式一除得到：

\[\lim_{\xi \rightarrow x_0} \frac {f ^ \prime (\xi)} {g ^ \prime (\xi)} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x) - f(x_0)} {g(x) - g(x_0)} \]

对于等式右边，把变量名 \(\xi\) 换成 \(x\)；对于右边，带入 \(f(x_0) = g(x_0) = 0\)。得：

\[\lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f ^ \prime(x)} {g ^ \prime (x)} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x)} {g(x)} \]

得证。

趋近于 \(\infty\)

\[\lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x)} {g(x)} \]

\[= \lim_{x \rightarrow x_0} \frac {\frac 1 {f(x)}} {\frac 1 {g(x)}} \times \frac {f(x) ^ 2} {g(x) ^ 2} \]

由于 \(f(x) \rightarrow \infty\) 且 \(g(x) \rightarrow \infty\) 显然有 \(\frac 1 {f(x)} \rightarrow 0\) 且 \(\frac 1 {g(x)} \rightarrow 0\)，那么带入都趋近于 \(0\) 的结论，有：

\[\lim_{x \rightarrow x_0} \frac {(\frac 1 {f(x)}) ^ \prime} {(\frac 1 {g(x)}) ^ \prime} \times \frac {f(x) ^ 2} {g(x) ^ 2} \]

把求导求出来有：

\[\lim_{x \rightarrow x_0} \frac {\frac {f ^ \prime(x)} {f(x) ^ 2}} {\frac {g ^ \prime(x)} {g(x) ^ 2}} \times \frac {f(x) ^ 2} {g(x) ^ 2} \]

\[= \lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f ^ \prime(x)} {g ^ \prime (x)} \]

得证。

泰勒公式

微积分

作为 oier，我们可以把 \(dx\) 当作对 \(x\) 差分至无穷小，将 \(\int dx\) 当作对 \(dx\) 求前缀和。

微分

微分表示为 \(\frac {dy} {dx}\)，画出图像不难发现其就是切线斜率，那么微分就等价于求导。那么我们就知道了：

\[f ^ \prime(x) = \frac {df(x)} {f(x)} \]

性质

• \(dx = d(x + C)\)
  显然因为 \(d(C) = 0\)。
• \(dx = \frac {d(ax)} a\)

积分

假设我们要求一个二次函数 \(f(x) = x ^ 2\)，用微积分表示就是：

\[\int x ^ 2 dx + C \]

就是将所有长为 \(x ^ 2\) 宽为 \(dx\) 的小长方形乘起来。注意要补一个常数项。

我们设 \(g(x) = \int x ^ 2 dx\)，可以将 \(g(x)\) 写作 \(\int d(g(x)) + C\)，那么等式化为：

\[\int dg(x) + C = \int x ^ 2 dx \]

两边求导：

\[dg(x) = x ^ 2 dx \]

所以