矩阵快速幂学习总结
前言
我们都知道，斐波那契数列的递推公式为 \(a_{i}\)=\(a_{i-1}+a_{i-2}\) , 我们要求其第n位值的时候，时间复杂度是O(n)的，但是当 n 达到\(10^{8}\)甚至以上级别的时候，就会TLE，那该怎么办呢？
矩阵快速幂
前置芝士 1.快速幂
洛谷 P1226 【模板】快速幂
所谓快速幂，其实就是乘法结合律和二进制的结合产物
我们都知道，一个数可以根据其二进制位分成： \(2^{p_0}\)+\(2^{p_1}\)+…+\(2^{p_k}\) ， 如23=1+2+4+16
乘法结合律就是a * b * c = a * (b * c)
那么\(a^n\)=a * a * a * … * a = a * (a * a)* … *(a * a * … * a)
这样计算的速度就从O(n)降到了O($\log_{2}{n} $)
C++快速幂模板：
点击查看代码
int qpow(int a,int b,int mod)
{
int res=1;
while(b)
{
if(b&1)res=res*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return res;
}
前置芝士 2.矩阵乘法
例如：\(\begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&4\end{bmatrix}\) $\times $ \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 3 \\ 7\end{bmatrix}\)
C++矩阵乘法模板：
点击查看代码
#define vvi vector<vector<int>>
vvi mul(vvi a,vvi b,int mod){
int n=a.size(),m=a[0].size(),k=b[0].size();
vvi c(n,vector<int>(k,0));
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<k;j++)
for(int u=0;u<m;u++)
c[i][j]=(c[i][j]+a[i][u]*b[u][j])%mod;
return c;
}
实现矩阵快速幂
将快速幂模板改一改就可以了，注意需要先构造单位矩阵:\(\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}\)
C++矩阵快速幂模板：
点击查看代码
#define vvi vector<vector<int>>
vvi mul(vvi a,vvi b,int mod){
int n=a.size(),m=a[0].size(),k=b[0].size();
vvi c(n,vector<int>(k,0));
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<k;j++)
for(int u=0;u<m;u++)
c[i][j]=(c[i][j]+a[i][u]*b[u][j])%mod;
return c;
}
vvi qpow(vvi a,int b,int mod){
int n=(int)a.size();
vector<vector<int>>c(n,vector<int>(n,0));
for(int i=0;i<n;i++)c[i][i]=1;//构造单位矩阵
while(b){
if(b&1)c=mul(c,a,mod);
a=mul(a,a,mod);
b>>=1;
}
return c;
}
矩阵快速幂专项练习题单
P1962 斐波那契数列
我们构造这样的矩阵：\(\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}\) $\times $ \(\begin{bmatrix} a_n \\ a_{n-1} \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} a_{n+1} \\ a_{n} \end{bmatrix}\) 。
怎么想到这个构造的呢？我觉得可以根据递推公式，观察第n项是由前面哪些项得来的，根据矩阵运算法则反推即可 。
利用矩阵快速幂的代码计算出其迭代n-1次后的新矩阵，这样第1行第1列的元素就是\(a_n\)了(第1行第2列的元素就是\(a_{n-1}\))
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
#define vvi vector<vector<int>>
#define int long long
#define endl "\n"
using namespace std;
const int N=1e6+10,M=2010,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
vvi mul(vvi a,vvi b,int mod){
int n=a.size(),m=a[0].size(),k=b[0].size();
vvi c(n,vector<int>(k,0));
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<k;j++)
for(int u=0;u<m;u++)
c[i][j]=(c[i][j]+a[i][u]*b[u][j])%mod;
return c;
}
vvi qpow(vvi a,int b,int mod){
int n=(int)a.size();
vector<vector<int>>c(n,vector<int>(n,0));
for(int i=0;i<n;i++)c[i][i]=1;//构造单位矩阵
while(b){
if(b&1)c=mul(c,a,mod);
a=mul(a,a,mod);
b>>=1;
}
return c;
}
void solve(){
int n;
cin>>n;
vector<vector<int>>a={{1,1},{1,0}};
vector<vector<int>>b=qpow(a,n-1,mod);
cout<<b[0][0]<<endl;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);
int _=1;
//cin>>_;
while(_--) solve();
return 0;
}
P1349 广义斐波那契数列
考虑构造：\(\begin{bmatrix} p&q \\ 1&0 \end{bmatrix}\) $\times $ \(\begin{bmatrix} a_n \\ a_{n-1} \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} a_{n+1} \\ a_{n} \end{bmatrix}\)
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pb push_back
#define vvi vector<vector<int>>
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define fi first
#define se second
#define endl "\n"
using namespace std;
const int N=5e5+10,M=2010,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
const int inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
vvi mul(vvi a,vvi b,int mod){//a的列数应与b的行数相等
//a为n行m列的矩阵，b为m行d列的矩阵,相乘后获得n行d列的矩阵
int n=a.size(),m=a[0].size(),d=b[0].size();
vvi c(n,vector<int>(d,0));
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<d;j++)
for(int k=0;k<m;k++)
c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]%mod)%mod;
return c;
}
vvi qpow(vvi a,int n,int m){
vvi c(2,vector<int>(2,0));
c[0][0]=c[1][1]=1;
while(n){
if(n&1)c=mul(c,a,m);
a=mul(a,a,m);
n>>=1;
}
return c;
}
void solve(){
int p,q,a1,a2,n,m;
cin>>p>>q>>a1>>a2>>n>>m;
if(n==1)cout<<a1%m<<endl;
else if(n==2)cout<<a2%m<<endl;
else {
vvi a={{p%m,q%m},{1,0}};
vvi b={{a2%m},{a1%m}};
a=qpow(a,n-2,m);
a=mul(a,b,m);
cout<<a[0][0]<<endl;
}
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);
int _=1;
//cin>>_;
while(_--) solve();
return 0;
}
P1939 矩阵加速（数列）
考虑构造\(\begin{bmatrix} 1&0&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}\) $\times $ \(\begin{bmatrix} a_{n} \\ a_{n-1} \\ a_{n-2} \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} a_{n+1} \\ a_{n} \\ a_{n-1} \end{bmatrix}\)
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define endl "\n"
using namespace std;
const int N=1e6+10,M=2010,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,k;
vector<vector<int>>mul(vector<vector<int>>a,vector<vector<int>>b){
vector<vector<int>>c(3,vector<int>(3,0));
for(int i=0;i<3;i++)
for(int j=0;j<3;j++)
for(int k=0;k<3;k++)
c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]%mod)%mod;
return c;
}
vector<vector<int>>qpow(vector<vector<int>>a,int b){
vector<vector<int>>c(3,vector<int>(3,0));
for(int i=0;i<3;i++)c[i][i]=1;
while(b){
if(b&1)c=mul(c,a);
a=mul(a,a);
b>>=1;
}
return c;
}
void solve(){
cin>>n;
vector<vector<int>>a={{1,0,1},{1,0,0},{0,1,0}};
vector<vector<int>>b=qpow(a,n);
cout<<b[1][0]<<endl;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);
int _=1;
cin>>_;
while(_--) solve();
return 0;
}
U583138 多重前缀和
考虑构造下三角矩阵\(\begin{bmatrix} 1&0&0&…&0 \\ 1&1&0&…&0 \\ … \\ 1&1&1&…&1 \end{bmatrix}\) $\times $ \(\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ … \\ a_{n} \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} a_{2} \\ a_{3} \\ … \\ a_{n+1} \end{bmatrix}\)
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#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pb push_back
#define vvi vector<vector<int>>
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define fi first
#define se second
#define endl "\n"
using namespace std;
const int N=5e5+10,M=2010,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
const int inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
vvi mul(vvi a,vvi b){
int n=a.size(),m=a[0].size(),k=b[0].size();
vvi c(n,vector<int>(k,0));
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<k;j++)
for(int u=0;u<m;u++)
c[i][j]=(c[i][j]+a[i][u]*b[u][j]%mod)%mod;
return c;
}
vvi qpow(vvi a,int m){
int n=a.size();
vvi c(n,vector<int>(n,0));
for(int i=0;i<n;i++)
c[i][i]=1;
while(m){
if(m&1)c=mul(c,a);
a=mul(a,a);
m>>=1;
}
return c;
}
void solve(){
int n,m;
cin>>n>>m;
vvi a(n,vector<int>(1,0));
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>a[i][0];
vvi b(n,vector<int>(n,0));
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<=i;j++)
b[i][j]=1;
b=qpow(b,m);
vvi c=mul(b,a);
for(int i=0;i<n;i++)
cout<<c[i][0]<<" ";
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);
int _=1;
//cin>>_;
while(_--) solve();
return 0;
}
P2044 [NOI2012] 随机数生成器
考虑构造矩阵：\(\begin{bmatrix} a&c \\ 0&1 \end{bmatrix}\) $\times $ \(\begin{bmatrix} x_0 \\ 1 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} x_1 \\ 1 \end{bmatrix}\)
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#include <bits/stdc++.h>
#define int __int128
#define LL long long
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define endl "\n"
using namespace std;
const int N=1e6+10,M=2010,mod=998244353,INF=0x3f3f3f3f;
#define vvi vector<vector<int>>
vvi mul(vvi a,vvi b,int mod){
int n=a.size(),m=a[0].size(),k=b[0].size();
vvi c(n,vector<int>(k,0));
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<k;j++)
for(int u=0;u<m;u++)
c[i][j]=(c[i][j]+a[i][u]*b[u][j])%mod;
return c;
}
vvi qpow(vvi a,int b,int mod){
int n=(int)a.size();
vector<vector<int>>c(n,vector<int>(n,0));
for(int i=0;i<n;i++)c[i][i]=1;//构造单位矩阵
while(b){
if(b&1)c=mul(c,a,mod);
a=mul(a,a,mod);
b>>=1;
}
return c;
}
void solve(){
LL m,a,c,x0,n,g;
cin>>m>>a>>c>>x0>>n>>g;
vvi p={{x0%m},{1}};
vvi pp={{a,c%m},{0,1}};
pp=qpow(pp,n,m);
pp=mul(pp,p,m);
cout<<(LL)pp[0][0]%g<<endl;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);
int _=1;
//cin>>_;
while(_--) solve();
return 0;
}
河南萌新联赛2025第（五）场H题
斐波那契数列前N项和
考虑构造\(\begin{bmatrix} 2&0&-1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{bmatrix}\) $\times $ \(\begin{bmatrix} a_{1}+a_{2}+a_{3} \\ a_{1}+a_{2} \\ a_{1} \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} a_{4}+a_{1}+a_{2}+a_{3} \\ a_{1}+a_{2}+a_{3} \\ a_{1}+a_{2} \end{bmatrix}\)
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#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define PII pair<int,int>
#define pb push_back
#define vvi vector<vector<int>>
#define fi first
#define se second
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N=1e6+10,M=1010;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int dx[]={-1,1,0,0},dy[]={0,0,-1,1};
int n,m,k,mod;
string s;
vvi mul(vvi a,vvi b){
int n=a.size(),m=a[0].size(),k=b[0].size();
vvi c(n,vector<int>(k,0));
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<k;j++)
for(int u=0;u<m;u++)
c[i][j]=((c[i][j]+a[i][u]*b[u][j])%mod+mod)%mod;
return c;
}
vvi qpow(vvi a,int b){
int n=(int)a.size();
vector<vector<int>>c(n,vector<int>(n,0));
for(int i=0;i<n;i++)c[i][i]=1;
while(b){
if(b&1)c=mul(c,a);
a=mul(a,a);
b>>=1;
}
return c;
}
void solve(){
cin>>n>>mod;
vvi res={{4},{2},{1}};
vvi tmp={{2,0,-1},{1,0,0},{0,1,0}};
tmp=qpow(tmp,n-1);
res=mul(tmp,res);//不要写反了！！！
cout<<res[2][0]<<endl;
}
signed main(){
std::ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
int _=1;
srand(time(0));
//cin>>_;
while(_--) solve();
return 0;
}
2026年广东工业大学揭阳校区程序设计竞赛 同步赛H题
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#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define int long long
#define vvi vector<vector<int>>
#define endl "\n"
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n;
unordered_map<int,int>mp;
const vvi p={
{1,2,3,0,1},
{1,0,0,0,0},
{0,0,1,1,0},
{0,0,0,1,0},
{0,0,0,0,5}
};
const vvi fi={
{109},
{1},
{3},
{1},
{500}
};
vvi mul(const vvi &a,const vvi &b){
vvi c(5,vector<int>(5,0));
for (int i = 0; i < 5; ++i) {
for (int k = 0; k < 5; ++k) {
if (a[i][k] == 0) continue; // 剪枝
for (int j = 0; j < 5; ++j) {
c[i][j] = (c[i][j] +a[i][k] * b[k][j]);
}
}
}
//优化取模次数
for (int i = 0; i < 5; i++) {
for (int j = 0; j < 5; j++) {
c[i][j] %= mod;
}
}
return c;
}
vvi qmi(vvi a,int b){
vvi c(5,vector<int>(5,0));
for(int i=0;i<5;i++)c[i][i]=1;
while(b){
if(b&1)c=mul(c,a);
a=mul(a,a);
b>>=1;
}
return c;
}
int solve(){
cin>>n;
if(mp.find(n)!=mp.end()){
cout<<mp[n]<<endl;
return mp[n];
}
if(n==0||n==1){
cout<<1<<endl;
return 1;
}
vvi mat=qmi(p,n-2);
int ans = 0;
for (int i = 0; i < 5; ++i) {
ans = (ans + mat[0][i] * fi[i][0]%mod) % mod;
}
ans = (ans + mod) % mod;
cout << ans << "\n";
mp[n] = ans;
return ans;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
int _ ;
cin >> _;
while (_--){
//n=_;
//j--;
//cout<<"mp["<<_<<"]="<<solve()<<";"<<endl;
solve();
}
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号