图论基础

前言：

本篇文章将会讲解图论所有基本知识，不会涉及算法，可以放心食用。

可能不是很标准，望大家见谅

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一、图论基本概念：

图论（Graph Theory）是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。

如果想看更多更专业的概念，可以参考[oi-wiki](图论相关概念 - OI Wiki)

1、点：

点是构成图的基本元素，每个点一般会拥有一个数值，我们可以将该数值成为点权，即点的权重

2、边：

边是用于连接两个点的线段，通常来说，边有两种形式，一种是有向边，一种是无向边。

有向边指这条边有一个特定的方向，具有指向性，并且要注意，在两个点中如果边的方向不一致，则这两条边不为同一条边

4、分类：

​ 稀疏图：稀疏图指该图中的边的数量小于 \(n log n\) （\(n\)指代点的数量）

​ 稠密图：稠密图指该图中的边的数量大于 \(n log n\)

​ 完全图：若该图中任何一对点都有边相连，则称该图为完全图。若图中的边为有向边，则改图也可以称为有向完全图，反之即是无向完全图

​ 有向图&无向图：有向图指图中的边都是有向边，反之即是无向图

​ 连通图：如果以任意一个点为起点，在图上沿着边走都可以到达其他所有点（有向图必须沿有向边的方向），那么这个图就是连通图。

5、度：

在无向图中，顶点的度是指某个顶点连出的边数。

在有向图中，和度对应的是入度和出度这两个概念。顶点的入度是指以该顶点为终点的有向边数量；顶点的出度是指以顶点为起点的有向边数量。需要注意的是，在有向图里，顶点是没有度的概念的。

6、环：

在有向图中，若一个点能够通过其它边回到自己，则此时就出现了一条环路

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二、存图方式：

1、邻接矩阵：

邻接矩阵使用二维数组来存图的信息。

示例代码：

int n,m;//n表示点的数量，m表示边的数量
int g[101][101];//存图数组
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,w;//u，v代表一条边的起始坐标与终点坐标，w代表该边权重
        cin>>u>>v>>w;
        g[u][v]=w;//这里可以抽象理解为u-v之间有一条权重为w的边，但注意这是单向的只能代表从u到v有一条边
	}
}

该方法的优点是查找效率高，代码简单，易于理解；缺点是空间占用太大，不适用于稀疏图

2、链式前向星

链式前向星是一种优秀的存图方式，大大节省了空间，但代价是换取了少量的时间

其本质是利用链表的思想

示例代码：

// head[u] 和 cnt 的初始值都为 -1
void add(int u, int v) {
  nxt[++cnt] = head[u];  // 当前边的后继
  head[u] = cnt;         // 起点 u 的第一条边
  to[cnt] = v;           // 当前边的终点
}

// 遍历 u 的出边
for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i]) {  // ~i 表示 i != -1
  int v = to[i];
}

3、邻接表：

邻接表是对于邻接矩阵的一种优化，于链式前向星高度相似，但代码更为简单

本质用了动态数组\(vector\)进行了优化

示例代码（不带边权）：

int n,m;//n表示点的数量，m表示边的数量
vector<int> g[101];//存图数组
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v;//u，v代表一条边的起始坐标与终点坐标
        cin>>u>>v;
        g[u].push_back(v);
	}
}

示例代码（带边权）：

int n,m;
vector<pair<int,int>> g[101];//存图数组
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,w;
        cin>>u>>v>>w;
        g[u].push_back({v,w});
	}
}