欧拉定理及拓展形式

欧拉定理

　　当\((a,n)=1\)时，有\(a^{\varphi(n)}\equiv 1 \pmod n\)。这个是费马小定理的拓展。

　　还有拓展欧拉定理：任意情况下，\(a^{b+\varphi(n)} \equiv a^{b \bmod \varphi(n) + \varphi(n)} \pmod n\)。我们采用分解化归再合并的方法证明该命题。

　　\(Proof\)：

\[对于(a,n)\neq 1，取a的质因子p，将n分解使得n=s\times p^r，且(a,s)=1 \]

\[由积性函数性质得:\varphi(s)\mid \varphi(n) \]

\[\therefore 有p^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod s \]

\[\forall k \in \Z:p^{k\varphi(n)} \equiv 1 \pmod s \]

\[由同余的性质4:p^{k\varphi(n)} \times p^r \equiv p^r \pmod {s\times p^r} \]

\[\therefore p^{k\varphi(n)+r} \equiv p^r \pmod n \]

\[\therefore \forall c \in \Z_+:p^{k\varphi(n)+r+c} \equiv p^{r+c} \pmod n \]

\[也就是说:\forall c\in \Z, c\geq r:p^c \equiv p^{k\varphi(n)+c} \pmod n \]

\[对于a=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dotsb，先考虑其中任意一个因子p^k，p是素数，假设r\leq \varphi(n) \leq c，有: \]

\[(p^k)^c \equiv p^{kc} \equiv p^{kt\varphi(n)+kc} \equiv (p^k)^{t\varphi(n)+c} \pmod n \]

\[综上得到:(p^k)^c \equiv (p^k)^{c \bmod{\varphi(n)} + \varphi(n)}，加上一个\varphi(n)是为了不让指数<c。 \]

\[将所有质因子乘起来:(\prod_{p_i}p_i^{\alpha_i})^c \equiv \prod_{p_i}(p_i^{\alpha_i})^c \equiv \prod_{p_i}(p_i^{\alpha_i})^{c \bmod \varphi(n) + \varphi(n)} \equiv (\prod_{p_i}p_i^{\alpha_i})^{c \bmod \varphi(n) + \varphi(n)} \pmod n \]

\[用b+\varphi(n)替换c（因为有c\geq \varphi(n)），即证a^{b+\varphi(n)} \equiv a^{b \bmod \varphi(n) + \varphi(n)} \]