应用实例——最大子列和问题

题目描述：给定N个整数的序列{A₁,A₂,...,A_N},求函数f(i,j)=max{0,ΣA_k(i<=k<=j)}的最大值

算法1：

int MaxSubseqSum1(int A[],int N){
    int ThisSum,MaxSum=0;
    int i,j,k;
    for(i=0;i<N;i++){//i是子列左端位置
        for(j=i;j<N;j++){//j是子列右端位置
            ThisSum=0;
            for(k=i;k<j;k++){//ThisSum是A[i]到A[j]的子列和
                ThisSum+=A[k];
                if(ThisSum>MaxSum)//如果刚得到的这个子列和更大
                    MaxSum=ThisSum;//则更新结果
            }
        }
    }
    return MaxSum;
}

由程序结构可知，此算法的时间复杂度T(N)=O(N³)[有三层嵌套的for循环]

算法2：

int MaxSubseqSum1(int A[],int N){
     int ThisSum,MaxSum=0;
     int i,j;
     for(i=0;i<N;i++){//i是子列左端位置
         ThisSum=0;
         for(j=i;j<N;j++){//j是子列右端位置
             ThisSum+=A[j];//对于相同的i，不同的j，只要在j-1次循环的基础上累加1项即可
                 if(ThisSum>MaxSum)//如果刚得到的这个子列和更大
                    MaxSum=ThisSum;//则更新结果
             }
         }
    }
    return MaxSum;
}

由程序结构可知，此算法的时间复杂度T(N)=O(N²)[有两层嵌套的for循环]

算法3：分而治之

算法思路：将一个比较大而复杂的问题切分成比较小的模块，然后分头解决，最后把结果合并起来。

工作流程：[假设待解决的问题放在一个数组里面]

• 第一步：划分：按照平衡子问题的原则，将序列(a₁,a₂,...,a_n)划分成长度相同的两个序列(a₁,...,a_n/2)和(a_n/2+1,...,a_n),则会出现一下三种情况：
  • a₁,...,a_n的最大字段和=a₁,...,a_n/2的最大字段和①
  • a₁,...,a_n的最大字段和=a_n/2+1,...,a_n的最大字段和②
  • a₁,...,a_n的最大字段和=Σa_k(i<=k<=j)，且1<=i<=n/2,n/2+1<=j<=n③
• 第二步：求解子问题：对于划分阶段的情况①和②可递归求解，情况③需要分别计算左右两端的最大子列和，然后两个之和为情况③的最大子列和。
• 第三步：合并：比较在划分阶段三种情况下的最大子列和，取三者关系中的较大者为原问题的解。

     

例：给定一个数组[4,-3,5,-2,-1,2,6,-2]

先从中间将其一分为二

然后递归地先解决左半边，继续将其一分为二

继续地递归到左半边，继续分

针对最后的一次划分，左边的最大子列和为4，右边最大子列和为-3,小于左边，会返回0，则跨越边界的最大子列和为4。依此类推，得到最终的划分结果为：

int MaxSubseqSum3(int a[],int left,int right){//求序列a[left]~a[right]的最大子列和
    int sum=0,midSum=0,leftSum=0,rightSum=0;
    int center,s1,s2,lefts,rights;
    if(left==right)//如果序列长度为1，直接求解
        sum=a[left];
    else{
        center=(left+right)/2;//划分
        leftSum=MaxSubseqSum3(a,left,center);//对应情况①，递归求解
        rightSum=MaxSubseqSum3(a,center,right);//对应情况②，递归求解
        s1=0;lefts=0;//以下对应情况③，先求解s1
        for(int i=center;i>=left;i--){
            lefts+=a[i];
            if(lefts>s1)
                s1=lefts;
        }
        s2=0;rights=0;//再求解s2
        for(int j=center+1;j<=right;j++){
            rights+=a[j];
            if(rights>s2)
                s2=rights;
        }
        midSum=s1+s2;//计算情况③的最大子列和
        if(midSum<leftSum)//合并解，取较大者
            sum=lefstSum;
        else 
            sum=midSum;
        if(sum<rightSum)
            sum=rightSum;
    }
    return sum;
}

划分之后，每个程序执行的数据规模是N/2，对应划分得到的情况①和情况②，需要分别进行递归求解，对应情况③，两个并列for循环的时间复杂性是O(N)，所以存在如下的递推式：

• T(N)=1          当N=1时；
• T(N)=2T(N/2)+c·N   当N>1时；

T(N)=2T(N/2)+c·N=2[2T(N/4)+c·N/2]+c·N

   =2²T(N/2²)+2c·N

   =2^kO(1)+ck·N,其中N/2^k=1

   =O(Nlog₂N)

由程序结构可知，此算法的时间复杂度T(N)=O(Nlog₂N)

算法4：在线处理

 “在线”的意思是指每输入一个数据就进行即时处理，在任何一个地方中止输入，算法都能正确给出当前的解。

int MaxSubseqSum4(int A[],int N){ 2     int ThisSum,MaxSum=0;
    int i;
    ThisSum=MaxSum=0;
    for(i=0;i<N;i++){
        ThisSum+=A[i];//向右累加
        if(ThisSum>MaxSum)
            MaxSum=ThisSum;//发现更大和则更新当前结果
        else if(ThisSum<0)//如果当前子列和为负
            ThisSum=0;//则不可能使得后面的部分和增大，抛弃之
    }
    return MaxSum;
}

 由程序结构可知，此算法的时间复杂度T(N)=O(N)[只有一个for循环，而且if-else的复杂度都为常数]

复杂度越小，理解起来越困难

例：

 ①第一个数字为-1，由于它不能使后面的部分增大，因此将ThisSum重置为0，MaxSum=0

②MaxSum=3,ThisSum=3

③ThisSum=1>0，不会被重置为0

④ThisSum=5,MaxSum=5,最大和更新

⑤ThisSum=-1<0，被抛弃，将ThisSum重置为0

⑥ThisSum=1,MaxSum=5

 ⑦ThisSum=7,MaxSum=7，最大和更新

 ⑧ThisSum=6,MaxSum=7,最大和未改变

所以得到的最大子列和为7。

运行时间比较(秒)

算法	1	2	3	4
时间复杂度	O(N3)	O(N2)	O(NlogN)	O(N)
N=10	0.00103	0.00045	0.00066	0.00034
N=100	0.47015	0.01112	0.00486	0.00063
N=1000	448.77	1.1233	0.05843	0.00333
N=10000	NA	111.13	0.68631	0.03042
N=100000	NA	NA	8.0113	0.29832